证明极限存在的方法有:应用夹逼定理证明、应用单调有界定理证明、从用极限的定义入手来证明、应用极限存在的充要条件证明等。
其中,夹逼定理是最常用的方法之一,即如果有函数f(x),g(x),h(x),满足g(x)≤f(x)≤h(x),Limg(x)=Limh(x)=A,则Limf(x)=A。单调有界定理也是常用的方法之一,即若数列递增且有上界,或数列递减且有下界,则极限存在。
从用极限的定义入手来证明也是一种方法,即对于任意正数ε(不论其多么小),都存在N>0,使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上成立。应用极限存在的充要条件也可以证明极限存在,例如柯西收敛准则和反常积分和级数中的比较判别法。
极限存在的条件
极限存在的充要条件:左极限存在,右极限存在,左右极限相等。可以概括为左右极都限存在且相等。
左极限就是函数从一个点的左侧无限靠近该点时所取到的极限值,且误差可以小到我们任意指定的程度,只需要变量从坐标充分靠近于该点。
右极限就是函数从一个点的右侧无限靠近该点时所取到的极限值,且误差可以小到我们任意指定的程度,只需要变量从坐标充分靠近于该点。
极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。左极限与右极限只要有其中有一个极限不存在,则函数在该点极限不存在。
极限的定义
是数学中的分支——微积分的基础概念,广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数学中的“极限”指:某一个函数中的某一个变量,此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”(永远不能够等于A,但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果)的过程中,此变量的变化,被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”(当然也可以用其他符号表示)。