Question

已知一个口袋中装有n个红球(n≥1,且n∈N)和2个白球,从中有放回的连续摸三次,每次摸出两个球

若两个球的颜色不同则为中奖,否则不中奖.记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P,则当n取多少的时候,P最大?

Answer 1

设总球数a=n+2
不中奖的概率P1=[（C 2 2）+（C n 2）]/（C a 2）=(n2-n+2)/(n2+3n+3)，n属于[1,无穷)
对P1求导，P1`=（2n-1）/（2n+3），所以，在（0,0.5）内，递减，[0.5,无穷）递增，又因为n属于[1,无穷)，故P1在定义域内递增，值域[2/7,1]。
三次恰中奖两次概率 = 恰一次不中奖概率P =（C 3 1）* P1*(1-P1)2 = 3A3-6A2+3A (设A=P1)
由P ` =3A2-4A+1=（3A-1）（A-1）=0得，P在（- 无穷，1/3 ] 内递增，[1/3,1)内递减，[1,无穷)内递增，且由上知A=P1属于[2/7,1),所以所求最大值在P极值点处或附近。极值点A=P1=1/3，得此时n=（6+2根号3）/4=2.34（另一根不在定义域内，舍去），所以，可能的n值为2或者3。分别带入得n=2时，P=0.39，n=3时，P=0.44。所以，综上所述，n=3，P=0.44（答案是无理数，不好表示，这是近似值）。