Question

求证：函数f（x)=x+a/x(a>0)在（根号a,+无穷）上是增函数

Answer 1

方法一：
∵f（x）＝x＋a/x，∴f′（x）＝1－a/x^2＝（x^2－a）/x^2。
∵x∈（√a，＋∞）、且a＞0，∴x^2＞0、x^2＞a，∴x^2－a＞0，∴（x^2－a）/x^2＞0，
∴f′（x）＞0。
∴f（x）＝x＋a/x在区间（√a，＋∞）上是增函数。

方法二：
引入变量x1＞x2＞√a，则：x1－x2＞0、x1x2＞a，∴x1x2－a＞0，
∴（x1－x2）（x1x2－a）/（x1x2）＞0。
于是：
f（x1）－f（x2）
＝x1＋a/x1－（x2＋a/x2）＝（x1－x2）＋a（1/x1－1/x2）
＝（x1－x2）＋a（x2－x1）/（x1x2）＝（x1－x2）－a（x1－x2）/（x1x2）
＝（x1－x2）［1－a/（x1x2）］＝（x1－x2）（x1x2－a）/（x1x2）＞0。
∴当x1＞x2＞√a时，有：f（x1）－f（x2）＞0，即：f（x1）＞f（x2）。
∴f（x）＝x＋a/x在区间（√a，＋∞）上是增函数。

追问

看不懂啊 能把变形的式子写清楚点吗

Answer 2

解：设x1>x2>√a
则f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-x2-a/x2=(x1*x2-a)*(x1-x2)/(x1*x2)
因为x1>x2>√a
所以x1*x2-a>0
x1-x2>0
故f(x1)-f(x2)>0
故函数f（x)=x+a/x(a>0)在（根号a,+无穷）上是增函数

追问

x1+a/x1-x2-a/x2 到 （x1*x2-a)*(x1-x2)/(x1*x2)
怎么来的 可以在详细一点吗 谢啦

追答

自己通分就行了