Question

一道数学几何题，求详细过程。

如图，△DEF是正三角形，且AD=BE=CF，那么△ABC是正三角形吗？如果是，请予以证明；如果不是，请说明理由。

Answer 1

证明：假设△ABC不等边，不妨设∠A＞60°＞∠B
那么有：
∠AED=180°-∠A-∠ADE
=180°-∠A-（120°-∠BDF）
=60°-∠A+∠BDF
因为60°＜∠A，所以∠BDF＞∠AED
∠ADE=120°-∠BDF
=120°-（180°-∠B-∠BFD）
=∠B-60°+∠BFD
因为∠B＜60°，所以∠BFD＞∠ADE
根据正弦定理：
BF/DF=sin∠BDF/sinB；
AD/DE=sin∠AED/sinA；
∵BF=AD，DF=DE，
∴sin∠BDF/sinB=sin∠AED/sinA
∵∠A＞∠B，DE=DF
∴sin∠AED＞sin∠BDF，而∠BDF＞∠AED，
所以∠BDF＞∠AED＞90°，且∠ADE＜∠BFD＜30°
根据余弦定理：则有BD＞AE
设DE=DF=FE=a，AD=BF=CE=b，因为∠BDF＞∠AED＞90°，所以钝角边大于锐角边
即AD＞DE，BD＞DF，b＞a，
因为∠BDF＞∠AED＞90°，所以cos∠BDF＜cos∠AED根据余弦定理
cos∠BDF=（BD²+a²-b²）/2aBD=BD/2a+（a²-b²）/2aBD
cos∠AED=（AE²+a²-b²）/2aAE=AE/2a+（a²-b²）/2aAE
即BD/2a+（a²-b²）/2aBD＜AE/2a+（a²-b²）/2aAE
即BD-AE＜（a²-b²）（1/AE-1/BD）=（a²-b²）(BD-AE)/（AE×BD）
由于BD＞AE，
因此（a²-b²）/（AE×BD）＞1
可是b＞a，a²-b²＜0，AE×BD＞0，所以显然不成立
所以假设不成立
△ABC是正三角形。

Answer 2

是
△ADF全等△EFC全等△DBE（SAS）
得出：DF=EF=DB
（注：不能直接写三个三角形全等。只能两个两个的证）

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求采纳。。

Answer 3

△DEF是正三角形
ab=bc=ca
a=b=c=60度
AD=BE=CF
af=ce=bd
再证明三个全等
de=ef=fd
即等边三角形

Answer 4

是。因为由AB=BC=AC,又因为AD=BE=FC,角A=角B=角C，从而证明三角形ADF=EFC=BDE（全等），所以DE=EF=DF,故三角形DEF为正三角形

Answer 5

是正三角形，但是证明条件不齐。