Question

一道数学几何题，求详细过程。

如图，△DEF是正三角形，且AD=BE=CF，那么△ABC是正三角形吗？如果是，请予以证明；如果不是，请说明理由。

Answer 1

解：如图，当△DEF是正三角形，且AD=BE=CF，△ABC是正三角形。

证明：
（1）如果AB,BC,AC中有两条边AB=AC
则AF=BD.
∵BE=AD，FD=DE
∴△AFD≌△BDE
∴∠A=∠B.
∵AB=AC
∴∠A=∠B=∠C.
即△ABC为正三角形。

（2）反证法：纯几何证明做辅助线如下图

若∠A≠∠B≠∠C
则这三个角中至少有一个角大于60°，一个角小于60°.
设∠A＞60°，∠B＜60°，在BA及其延长线上分别取点G,H,使∠DGE=60°，∠AHF=60°.
∵∠ADF+∠FDE+∠EDG=180°，且△DGE的内角和为180°，并注意∠DGE=∠FDE=60°.
∴∠DEG=∠ADF
在△HDF和△GED中，
∠DHF=∠EGD
∠HDF=∠DEG
DF=DE
∴△HDF≌△GED
∴DH=GE
∵∠BGE是钝角
∴BE＞GE
即AD=BE大于DH
显然不成立；
所以△ABC必为正三角形。

Answer 2

这里用了两个明显的结论①当三角形两边不变时，第三边增大时，第三边对的角也增大。
②当三角形两边不变时，第三边对的角增大时，其余两角都变小。
证明：①设三角形三边为a,b（定量），x(变量）
cos∠C=(a^2+b^2-x^2)/2ab 在（0，π）是增函数，即第三边增大时，第三边对的角也增大。
②设三角形两边为a,b（定量），第三边对的角增大时,另两角必有一个角变小，否则与三角形内角和矛盾，不妨设A变小
因为a/sinA=b/sinB,可得B也变小，即第三边对的角增大时，其余两角都变小。
下面开始证明：
设∠A∠B∠C中∠A最大
∴BC＞AB和AC
∵AD=BE=CF
∴CE＞BD和AF
∴∠CFE＞∠BED和∠ADF
∴∠C＜∠B和∠A
∵∠A∠B∠C中∠A最大
∴∠AFD＞∠CEF和∠BDE
∵∠AFD＋60°=∠C＋∠CEF
∴∠C＞60°
∵∠C是△ABC中最小的角
∴∠C不可能大于60°
∴三个角只能都等于60°
所以△ABC是正三角形

Answer 3

A=180-B-C
B=180-A-C
C=180-A-B
因为DEF是正三角形
所以
DEF=EFD=FDE=60
所以
ADE+BDF=120
AED+CEF=120
BFD+CFE=120
设角ADE是X度
BDF=120-X
设角EFC是Y度
DFB=120-60-Y
所以
角B=180-(120-X)-(120-Y)
设FEC是Z度
所以
C=180-Y-Z
AED=180-DEF-Z
AED=120-Z
A=180-B-C
代入上面B C
A=180-(180-(120-X)-(120-Y))-(180-Y-Z)
A=180-(180-120+x-120+y)-180+y+z
A=180-180+120-x+120-y-180+y+z
A=180-180+120+120-180-x-y+x+y
A=60
下来继续
A+X+AED=180
代入一下上面证明的
60+X+120-Z=180
X-Z=0

Answer 4

依题意△ABC是正三角形。

详细证明过程如下图：

Answer 5

解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．

简洁，绝对正确