Question

求由Y=X^2，Y=X所围成的平面图形的面积和绕X轴旋转所得旋转体的体积

RTRTRT，求答案，求过程，3Q

Answer 1

解 先作图（此处略），得知该图形在 x 轴上的投影是区间 [0,1]。
(1) 图形在 x∈[0,1]处的面积微元
dA(x) = (x-x^2)dx，
故所求面积为
A = ∫[0,1]dA(x) = ∫[0,1](x-x^2)dx = 1/6。
(2) 图形在 x∈[0,1]处的旋转体的体积微元
dV(x) =π (x^2-x^4)dx，
故所求体积为
V = ∫[0,1]dA(x) = π∫[0,1](x^2-x^4)dx = π/12。

追问

体积公式Vx=π∫[a,b][f(x)]^2dx
算体积那里的dV(x) =π∫ [(x-x^2)]^2dx 这个式子不是应该化成 dV(x) =π (x^2-2x^3+x^4)dx 吗？

追答

体积计算应该是
V = 直线旋转所得旋转体的体积 - 抛物线旋转所得旋转体的体积
= π∫[0,1]x^2dx - π∫[0,1]x^4dx
= π∫[0,1](x^2-x^4)dx

Answer 2

画个坐标图，Y=X是一条直线，用Y=X的定积分减去Y=X^2的定积分就是所围成的面积了，起点就是原点，终点就是交点 ，1/2-1/3=1/6就是围成的面积了 ，以及该平面图形绕x轴旋转转一周所得旋转体的体积应为1/3л