Question

如何求函数极限？

Answer 1

limx→ 无穷常用公式是：

1、sinx~x、tanx~x、arcsinx~x、arctanx~x、1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1。

2、（a^x）-1~x*lna [a^x-1)/x~lna]。

3、（e^x）-1~x、ln(1+x)~x。

4、(1+Bx)^a-1~aBx、[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x、loga(1+x)~x/lna、（1+x)^a-1~ax(a≠0)。

求极限方法：

利用函数的连续性求函数的极限（直接带入即可）；利用两个重要极限求函数的极限；利用无穷小的性质求函数的极限，其中性质是有界函数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小等等。

lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)。

lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)。

lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)。

Answer 2

例如如下极限的计算举例：

• 1.计算lim(n→∞)(19n²-14)/(20n⁴+7n-1)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(19n²-14)/(20n⁴+7n-1)

=lim(n→∞)(19/n-14/n⁴)/(20+7/n³-1/n⁴),

=0。

                                   

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• 2.计算lim(n→∞)(9n-30n-33)/(19+16n-28n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(9n²-30n-33)/(19+16n-28n²)

=lim(n→∞)(9-30/n-33/n²)/(19/n+16/n-28),

=(9-0)/(0-28),

=-9/28。

思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 9n²-30n-33)/(19+16n-28n²)

=lim(n→∞)(18n-30)/(16-56n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(18-0)/(0-56)，

=-9/28。

                                   

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• 3.求极限lim(x→1)(x³-17x+16)/(x⁴-26x+25)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-17x+16)/(x⁴-26x+25)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-16)/[(x-1)(x³+x²+x-25)],

=lim(x→1)(x²+x-16)/(x³+x²+x-25),

=(1+1-16)/(1+1+1-25),

=7/11。

                                   

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