Question

已知a,b,c是三角形三边，求证a/(b+c-a) +b/(c+a-b) +c/(a+b-c)≥3

已知a,b,c是三角形三边，求证a/(b+c-a) +b/(c+a-b) +c/(a+b-c)≥3
过程尽量详细

Answer 1

解:∵a,b,c是三角形的三边,
∴a＞0,b＞0,c＞0,且a+b-c＞0,b+c-a＞0,c+a-b＞0,
根据不等式:x+y≥2*(根号x*y),(x＞0,y＞0)可得:
(c+a-b)/(b+c-a) + (b+c-a)/(c+a-b) ≥2 ①
(a+b-c)/(c+a-b) +(c+a-b)/(a+b-c)≥2 ②
(a+b-c)/(b+c-a) +(b+c-a)/(a+b-c)≥2 ③
①式+②式+③式,得:
2*a/(b+c-a)+2*b/(c+a-b)+2*c/(a+b-c)≥6,
即a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)≥3 ,得证.

Answer 2

因为
（c+a-b)/(b+c-a) + (b+c-a)/(c+a-b) >=2
(a+b-c)/(c+a-b) +(c+a-b)/(a+b-c)>=2
(a+b-c)/(b+c-a) +(b+c-a)/(a+b-c)>=2
三式相加，化简即得

Answer 3

由三角形两边之和大于第三边及基本不等式可知
(a+b-c)/(b+c-a) +(b+c-a)/(a+b-c)>=2根号{[(a+b-c)/(b+c-a)]*[b+c-a)/(a+b-c)]}=2;
同理有（c+a-b)/(b+c-a) + (b+c-a)/(c+a-b) >=2
(a+b-c)/(c+a-b) +(c+a-b)/(a+b-c)>=2
三式相加即得a/(b+c-a) +b/(c+a-b) +c/(a+b-c)≥3