Question

如图,在Rt三角形ABC中,角A=90°,AB=6,AC=8，D,E分别为AB,AC的中点

如图,在Rt三角形ABC中,角A=90°,AB=6,AC=8，D,E分别为AB,AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ垂直BC于Q，过点Q作QR平行BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动。设BQ=x，QR=y。1.是否存在点P，使三角形PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值。

Answer 1

①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=8 10 =4 5 ，
∴QM QP =4 5 ，
∴1 2 (-3 5 x+6) 12 5 =4 5 ，
∴x=18 5 ．
②当PQ=RQ时，-3 5 x+6=12 5 ，
∴x=6．
③做EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，
∴EN=MN，
∴ER=RC，
∴点R为EC的中点，
∴CR=1 2 CE=1 4 AC=2．
∵tanC=QR CR =BA CA ，
∴-3 5 x+6 2 =6 8 ，
∴x=15 2 ．