Question

已知向量a=(cosx,sinx) 向量b=(sinx,cosx) 且x 属于[0,π/2]

求（1）向量a点乘向量的取值范围（2）求证|向量a+向量b|=2sin（x+π/4）（3）求函数f（x）=向量a点乘向量b-根号2|向量a+向量b|的取值范围

Answer 1

解：(1) a*b=cosx*sinx+sinx*cosx
=2sinx*cox
=sin2x
∵ x∈[0，π/2]
∴2x∈[0，π]
∴0≤sin2x≤1
因此，a*b的取值范围为[0，1]
(2)证明：∵|a+b|=|(cosx，sinx)+(sinx，cosx)|
=|(cosx+sinx，cosx+sinx)|
=√2|cosx+sinx|
=√2|√2sin(x+π/4)|
=2|sin(x+π/4)|
又 x∈[0，π/2]
∴ π/4≤x+π/4≤3π/4
∴ sin(x+π/4)>0
∴ |a+b|=2sin(x+π/4)
(3) 由(1)(2)，可知
f(x)=a*b-√2|a+b|
=2sinx*cosx-√2×2sin(x+π/4)
=2sinx*cosx-2√2sin(x+π/4)
=(sinx+cosx)²-(sin²x+cos²x2)-2√2sin(x+π/4)
=[√2sin(x+π/4)]²-2√2sin(x+π/4)-1
=2sin²(x+π/4)-2√2sin(x+π/4)-1
=2[sin(x+π/4)-(√2/2)]²-2
函数f(x)可看成是自变量为sin(x+π/4)的二次函数，对称轴为√2/2，
且自变量在sin(x+π/4)>√2/2上为增函数
由(2)，知 π/4≤x+π/4≤3π/4
则 √2/2≤sin(x+π/4)≤1
所以，当自变量sin(x+π/4)=√2/2时，函数f(x)有最小值-2
当自变量sin(x+π/4)=1时，函数f(x)有最大值1-√2
因此，f(x)的取值范围为[-2，1-√2]

Answer 2

解：（1）a·b=(cosx,sinx)(sinx,cosx)=cosxsinx+sinxcosx=2sinxcosx=sin2x
∵ x ∈[0,π/2]
∴2x ∈[0,π]即sin2x∈[0,1]
∴a·b∈[0,1]
（2）a+b=(cosx,sinx)+(sinx,cosx)=（cosx+sinx，sinx+cosx）
sinx+cosx=√2sin（x+π/4）
∴Ia+bI=√【（√2sin（x+π/4））^2+（√2sin（x+π/4））^2】
=√（4（sin（x+π/4））^2）
=2sin（x+π/4）
(3)f（x）=sin2x-2√2sin（x+π/4)
=2sinxcosx-√2sinx-√2cosx
sorry,第三题我无能为力!

Answer 3

（1）向量a点乘向量b的取值范围？
a·b=sinxcosx+sinxcosx
=sin2x
0≤a·b≤1

（2）求证|向量a+向量b|=2sin（x+π/4）
π/4≤x+π/4≤3π/4
a+b=(sinx+cosx,sinx+cosx)
|a+b|=√2 |sinx+cosx|
=√2*√2*|sin(x+π/4)|
=2|sin(x+π/4)|
=2sin(x+π/4)

（3）求函数f（x）=向量a点乘向量b-根号2|向量a+向量b|的取值范围
-2≤f(x)≤1-2√2

Answer 4

（1）cosxsinx+sinxcosx=sin2x 范围是[0,1]
(2）|a+b|=sqr(1+1+2sin2x) =sqr[2(sinx+cosx)^2]=sqr(2)*(sinx+cosx) = 2sin（x+π/4）
sqr代表根号
(3) f(x）=2sinxcosx-2sinx-2cosx
令sinx+cosx=t, 则2sinxcosx=t^2-1 t属于[1,sqr（2）]
f(x）=t^2-2t-1=(t-1)^2-2 值域[-2，1-2*sqr（2）]