Question

高中数学题，判断下列不等式是否成立，并给出证明过程。

不等式如下，要求见题。

Answer 1

1)第一个简单
只需要两边平方交叉相乘就可以等价得到
2(a+b)^2<=4(a^2+b^2)
即 2ab<=a^2+b^2
所以原不等式成立

2) 题目应该漏掉了条件 (a,b>0) 要不a=-1,b=-2代进去肯定不成立
原不等式两边同时乘以(a+b)得
b^2+a^2+b^3/a+a^3/b>=(a+b)^2
只要证明 b^2/a+a^3/b>=2ab 即可
利用不等式 可得b^3/a+a^3/b>=2√b^3/a*a^3/b=2ab
所以原不等式成立。

Answer 2

假设成立 则有

[(a+b)/2]²=(a+b)²/4≤（a²+b²）/2
(a+b)²≤2（a²+b²）
a²+b²+2ab≤2a²+2b²
2ab≤a²+b²
0≤a²+b²-2ab
0≤(a-b)² 这个成立
逆向可证

Answer 3

① (a+b)/2=√[(a+b)^2/4]=√[(a^2+b^2+2ab)/4]≤√[(a^2+b^2+a^2+b^2)/4]=√[(a^2+b^2)/2]

②(b^2/a)+a≥2√b^2=2b
(a^2/b)+b≥2√a^2=2a
两式相加得：
(b^2/a+(a^2/b)+(a+b)≥2(a+b)
(b^2/a+(a^2/b)≥a+b