Question

在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinB(tanA＋tanC﹚＝tanAtanC,求，a,b,c成等比数列

Answer 1

sinB(tanA＋tanC﹚＝tanAtanC ∴sinB(sinA/cosA＋sinC/cosC﹚＝sinAsinC/cosAcosC
∴sinB(sinAcosC＋sinCcosA﹚/cosAcosC＝sinAsinC/cosAcosC
约掉分母再由正弦定理得b（acosC+ccosA）=ac
余弦定理b（a*（a²+b²-c²）/2ab+c*（c²+b²-a²）/2cb）=ac化简得b²=ac故等比

Answer 2

∵sinB（tanA＋tanC）＝tanAtanC，
∴sinB（sinA/cosA＋sinC/cosC）＝sinAsinC/（cosAcosC），
∴sinB（sinAcosC＋cosAsinC）＝sinAsinC，
∴sinBsin（A＋C）＝sinAsinC，∴sinBsin（180°－B）＝sinAsinC，∴（sinB）^2＝sinAsinC。
结合正弦定理，容易得出：b^2＝ac。

Answer 3

追问

若a＝1，c＝2,求三角形ABC的面积

追答

b^2=ac=1*2=2
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
=(1+4-2)/(2*1*2)=3/4
sinB=(1-cos^2B)^0.5
=(1-(3/4)^2)^0.5=√7/4
三角形ABC的面积=acsinB/2
=1*2√7/4/2=√7/4