Question

高一数学三角恒等变换题●●急●●

求详解，谢谢！~~~

1.已知α，β∈（0，π）,tan(α/2)=(1/2),sin(α+β)=(5/13),求cosβ的值.

2.要使函数y=5cos{[(2k+1)/3]πx-(π/6)}(k∈N*),对于任意实数a,在区间[a,a+3]上函数值5/4出现的次数不少于4,又不多于8,求k的值.

Answer 1

1.设tan(α/2)=t,由万能公式
cosα=(1-t*t)/(1+t*t)=3/5,
sinα=4/5,又0<sn(α+β)=(5/13)<sinα=4/5,
且0<α+β<2π,所以1/2π<α+β<π,即第二象限，
所以cos(α+β)=-12/13,
cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-16/65
2.因为cos{[(2k+1)/3]πx-(π/6)}=1/4，对于任意实数a,在区间[a,a+3]成立，cos{[(2k+1)/3]πx-(π/6)}周期为π/k，对于任意实数a，次数不少于4，那么3之内最少有一个半周期，对于任意实数a，又不多于8，那么3之内最多有3个半周期，所以6/7〈π/k〈6/5，
5/6π〈k〈7/6π，所以k=3