Question

已知函数f(x)=ln(x+1)-x/a(x+1)

（Ⅰ）若函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有1/2+1/3+1/4+-------+1/n<lnn

关键是第二题，调和数列的证明，难啊

Answer 1

解：（1）f'(x)=1/(x+1)-1/[a*(x+1)^2=(ax+a-1)/(x+1)^2
若函数f（x）在[0，+∞）上为增函数
则任意x在[0，+∞）上，f'(x)>=0恒成立，即ax+a-1>=0恒成立
也即a>=1/(x+1) 故只需满足a不小于1/(x+1)的最大值，而1/(x+1)
在x在[0，+∞）上时，1/(x+1)的最大值为1，故a>=1
(1)由（1）当a=1时，f(x)=ln(x+1)-x/(x+1)在[0，+∞）上为增函数
故当x>0时，f(x)=ln(x+1)-x/(x+1)>f(0)=0 即 ln(x+1)>x/(x+1)
令x=1/(n-1)则lnn/(n-1)>1/n (n>1)
故ln2/1>1/2
ln3/2>1/3
ln4/3>1/4
……
lnn/(n-1)>1/n
左右叠加得lnn>1/2+1/3+1/4+-------+1/n 得证

Answer 2

亲~~我做的不知道对不

解：（1）f'(x)=1/(x+1)-1/[a*(x+1)^2=(ax+a-1)/(x+1)^2
若函数f（x）在[0，+∞）上为增函数
则任意x在[0，+∞）上，f'(x)>=0恒成立，即ax+a-1>=0恒成立
也即a>=1/(x+1) 故只需满足a不小于1/(x+1)的最大值，而1/(x+1)
在x在[0，+∞）上时，1/(x+1)的最大值为1，故a>=1
(1)由（1）当a=1时，f(x)=ln(x+1)-x/(x+1)在[0，+∞）上为增函数
故当x>0时，f(x)=ln(x+1)-x/(x+1)>f(0)=0 即 ln(x+1)>x/(x+1)
令x=1/(n-1)则lnn/(n-1)>1/n (n>1)
故ln2/1>1/2
ln3/2>1/3
ln4/3>1/4
……
lnn/(n-1)>1/n
左右叠加得lnn>1/2+1/3+1/4+-------+1/n 得证