Question

若关于x的不等式ax^2-|x|+2a<=0的解集为空集，则实数a的取值范围为

Answer 1

ax^2-|x|+2a<=0

a(|x|)^2-|x|+2a<=0(看成|x|的函数)

1.a=0
则-|x|<=0,|x|>=0显然恒成立，所以a不等于0

2.a≠0
有几种可能：
△=1-8a^2<0, a>0 (开口向上，与x轴没交点)
△=1-8a^2>=0, a>0, 两个解x1<=x2<0都是负数 (所以可以得到x1<=|x|<=x2<0无解，因为|x|>=0是非负数)
第一个解得就是a>(根号2)/4
第二个联立
1-8a^2>=0, a>0,（韦达定理）1/a<0,2>0,显然矛盾(a>0,1/a>0)

所以只有a>(根号2)/4

Answer 2

　　解：当a=0时，-|x+1|＜0的解集不是空集； 这种情况舍去．

　　又因为开口向下的二次函数图象是向下无限延伸的，

　　所以ax2-|x+1|+2a＜0的解集不可能为空集．这种情况舍去．

　　当a＞0，

　　当x≤-1时，不等式ax2-|x+1|+2a＜0为ax2+x+2a+1＜0

对称轴为x=

　　1

　　2a

＞0，

　　∵关于x的不等式ax2-|x+1|+2a＜0的解集为空集，

　　∴f（x）min=f（-1）≥0⇒a≥0，

　　∴a≥0

　　当x＞-1时，不等式ax2-|x+1|+2a＜0为ax2-x+2a-1＜0，

对称轴为x=

　　1

　　2a

＞0，

　　∵关于x的不等式ax2-|x+1|+2a＜0的解集为空集

∴f（x）min=f（

　　1

　　2a

）≥0⇒8a2-4a-1≥0⇒a≥

　　3+1

　　4

，a≤

　　1-3

　　4

．∴a≥

　　1+3

　　4

综上得：a≥

　　1+3

　　4

故答案为：[

　　1+3

　　4

，+∞）．

1.