Question

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB和AA1的中点。求证： （1）E,C,D1，F四点共面

（2）CE,D1F,DA三线共点

Answer 1

证明：（1）连接EF，A1B，D1C，
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B，A1B∥D1C，
∴EF∥D1C，
∴由两条平行线确定一个平面，得到E，C，D1，F四点共面．
（2）分别延长D1F，DA，交于点P，
∵P∈DA，DA⊂面ABCD，
∴P∈面ABCD．
∵F是AA1的中点，FA∥D1D，
∴A是DP的中点，
连接CP，∵AB∥DC，
∴CP∩AB=E，
∴CE，D1F，DA三线共点于P．

Answer 2

（1）连结CD'、EF、A'B，
∵A'D'∥B'C'∥BC，A'D'=B'C=BC，
∴四边形A'D'CB是平行四边形，
∴A'B∥D'C，
∵E、F分别是中点，
∴EF∥A'B，
∴EF∥CD'
∴E、F、C、D'共面

（2）延长D;F、DA交于P，连结EP
∵AE=AF，PA=PA，∠PAE=∠PAF=90°，
∴△PAE≌△PAF,
∴∠PFA=∠PEA，
∵∠PFA=∠PD'D，∠PD'D=∠DCE（∠A'D'F=∠BCE），
∴∠PEA=∠DCE，
又∵∠DCE+∠AEC=180°，
∴∠PEA+∠AEC=180°，
即点P、E、C共线，
∴CE,D1F,DA三线共点于P

Answer 3

（1）设棱长为2，则CE=根号5,
CD1=2根号2，
D1E=3，
这三边长满足三角形定义（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）
即CD1E是三角形，
∴C,D1，E三点共面
（2）延长B1A1，设A1外面的点位G
且GA1=BE，连接GE,D1G,构成平行四边形CEGD1，
∴CE∥D1G
又∵AD∥A1D1，且A1D1与FD1,GD1交与D1
∴CE,D1F,DA三线共点

Answer 4

连接 EF 、A1B、CD1
因为 E、F分别为AA1和AB的中点
所以 EF平行于A1B
又因为 A1D1平行且相等于BC
所以 四边形 A1D1CB是平行四边形
所以 A1B平行于CD1
所以 EF平行于CD1
所以 E F C D1 四点共线

Answer 5

(1)证明：∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁
且平面ABB₁A₁∩平面ECD₁F=EF，
平面DCC₁D₁∩平面ECD₁F=CD₁
∴EF∥CD₁，
∴E、C、D₁、F  四点共面