Question

数学达人进

1,已知a,b,c都是正数，求证(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc 2,已知×，y都是正数，求证（1）y/×＋×/y≥2（2）（×＋y）（ײ＋y²）（׳＋y³）≥8׳y³ 3,已知×≠0，当×取什么值时，ײ＋81/ײ的值最小？最小值是多少？ 4,一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园面积最大，最大面积多少？ （要解题过程）

Answer 1

解：（1）a,b,c都是正数，由均值不等式，得
a+b≥2根号ab＞0，b+c≥2根号bc＞0，c+a≥2根号ac＞0
三式相乘，即可得证。
（2）×，y都是正数，由均值不等式，得 y/×＋×/y≥2根号（y/×*×/y）=2
同(1)可得，（×＋y）（ײ＋y²）（׳＋y³）≥8׳y³ (取等条件均为X=y)
（3）×≠0，ײ＞0，，均值不等式，得 ײ＋81/ײ≥2根号81=18
当且仅当ײ=81/ײ取等，即x=±3时，取得最小值18
（4）设长为a，宽为b，a≥b，则 2a+2b=L
面积S=ab≤(a+b)^2/4=L^2/16，a=b时取等，即a=b=L/4时，面积最大为L^2/16
（望采纳）

Answer 2

1. 因为a,b,c都是正数，所以（a/b)+(b/a)>=2,(b/c)+(c/b)>=2, (a/c)+(c/a)>=2. 所以1+(a/b)+(b/a)+(a/c)+(c/a)+(b/c)+(c/b)+(a/c)*(c/a)=[1+(b/a)+(c/b)+(c/a)]*[1+(a/c)]=[1+(b/a)]*[1+(c/b)]*[1+(a/c)]>=8, 所以(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc;
2.(1) 因为(x-y)^2>=0, 则x^2+y^2>=2xy，因为x,y是正数，所以两边同时除以xy, x/y+y/x>=2

Answer 3

其实我不知道你是几年级的，读到哪了，上述题目均涉及一个知识点，那就是高中必修五所学的均值不等式，几当a，b都为正数时，有a+b≥2倍根号下ab