Question

如图，已知，ab垂直ac，ad垂直bc，eb平分∠abc，fg平行bc。求证ae=cf

Answer 1

如图，做EH⊥BC于H，

∵∠BAC=∠ADB=90°，∠1=∠2，

∴∠3=∠5，

又∵∠3=∠4，

∴∠4=∠5，

∴AG=AE，

∵EH⊥BC，AD⊥BC，

∴EH∥AD

∵EA⊥AB，BE平分∠ABC，

∴EA=EH（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）

∴EH=AG，

∴四边形AGHE是平行四边形

∴HG∥AE且HG=AE

又∵GF∥BC，

∴四边形CFGH是平行四边形，

∴CF=HG，

∴AE=CF

Answer 2

∵∠ADB＝∠CAB＝90°、∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴AB/BC＝BD/AB。
∵∠ABG＝∠DBG，∴由三角形内角平分线定理，有：BD/AB＝DG/AG，∴AB/BC＝DG/AG。
∵GF∥DC，∴DG/AG＝CF/AF，∴AB/BC＝CF/AF。
∵∠ABE＝∠CBF，∴由三角形内角平分线定理，有：AB/BC＝AE/CE，∴AE/CE＝CF/AF，
∴AE/（AE＋CE）＝CF/（CF＋AF），∴AE/AC＝CF/AC，∴AE＝CF。

Answer 3

作EH垂直BC于H

因为BE是角平分线
AB垂直AC
EH垂直BC
所以AE=EH
角ABE=角CBE

因为AD垂直BC
AB垂直AC
所以角CBE+角BGD=90度
角ABE+角AEB=90度
又因为角ABE=角CBE
所以角BGD=角AEB
又因为角BGD=角AGE
所以角AGE=角AEB

所以AG=AE
又因为AE=EH
所以AG=EH

因为GF平行BC
所以角AGF=角ADC
角AFG=角C

在三角形AGF与三角形EHC中
因为角AGF=角ADC
角AFG=角C
AG=EH
所以三角形AGF全等于三角形EHC

所以AF=EC

所以AF-EF=EC-EF
即AE=CF

作垂线后利用“角平分线上一点到两边的距离相等”定理
和“等式两边同加或同减一个数，等式仍然成立”定理
以及全等三角形的判定和全等三角形的性质定理得出AF=EC

最后再利用“等式两边同加或同减一个数，等式仍然成立”定理得出AE=CF