Question

解方程组 ｜x+y｜=1 ｜x｜+｜y｜=2

Answer 1

由｜x＋y｜＝1，得：（x＋y）^2＝1，∴x^2＋2xy＋y^2＝1。······①
由｜x｜＋｜y｜＝2，得：x^2＋2｜xy｜＋y^2＝4。······②
②－①，得：2｜xy｜－2xy＝3，xy＜0，否则就有0＝3。
∵xy＜0，∴由2｜xy｜－2xy＝3，得：－4xy＝3，∴xy＝－3/4，∴｜x｜｜y｜＝3/4。

∵｜x｜＋｜y｜＝2、｜x｜｜y｜＝3/4，
∴由韦达定理可知：｜x｜、｜y｜是方程z^2－2z＋3/4＝0的根。
由z^2－2z＋3/4＝0，得：z^2－2z＋1＝1－3/4＝1/4，∴（z－1）^2＝1/4，
∴z－1＝1/2，或z－1＝－1/2，∴z＝3/2，或z＝1/2。
∴｜x｜＝3/2、｜y｜＝1/2，或｜x｜＝1/2，｜y｜＝3/2。

考虑到｜x＋y｜＝1，∴x、y不能同为正数或同为负数，否则就有2＝1。
∴原方程组的解有四组，分别是：
　x1＝3/2、y1＝－1/2；x2＝－3/2、y2＝1/2；x3＝1/2、y3＝－3/2；x4＝－1/2、y4＝3/2。

Answer 2

|x+y|或者等于|x|+|y|或者等于||x|-|y||
显然这里|x+y|=||x|-|y||（此时x,y异号)
由于其对称性，不妨设|x|≥|y|
那么有|x|+|y|=2
|x|-|y|=1
得到|x|=3/2，|y|=1/2
所以x=3/2，y=-1/2
或者x=-3/2，y=1/2

同样交换x，y位置可以再得两组解
x=1/2，y=-3/2
x=-1/2，y=3/2

Answer 3

|x+y|=1
(x+y)^2=1
x^2+y^2+2xy=1 (1)
|x|+|y|=2
(|x|+|y|)^2=4
x^2+2|xy|+y^2=4 (2)
(2)-(1)
2|xy|-2xy=3
xy同号时，2|xy|=2xy，2|xy|-2xy=0，因此xy异号。
-4xy=3
xy=-3/4
x+y=1时，x，y是方程m^2-m-(3/4)=0的两根
4m^2-4m-3=0
(2m+1)(2m-3)=0
m=-1/2或m=3/2
x=-1/2 y=3/2或x=3/2 y=-1/2
x+y=-1时，x，y是方程m^2+m-(3/4)=0的两根
4m^2+4m-3=0
(2m-1)(2m+3)=0
m=1/2或m=-3/2
x=1/2 y=-3/2或x=1/2 y=-3/2

综上，得方程共4组解：
x=-1/2 y=3/2
x=3/2 y=-1/2
x=1/2 y=-3/2
x=1/2 y=-3/2

Answer 4

｜x+y｜=1
x+y=1或x+y=-1

x+y=1
（1）x>0,y>0
x+y=1
x+y=2 无解
（2）x>0 y<0
x+y=1
x-y=2 x=3/2 y=-1/2
（3）x<0 y>0
x+y=1
-x+y=2 x=-1/2,y=3/2
(4) x<0 y<0 无解

x+y=-1
(1) x>0 y>0 无解
（2）x>0 y<0
x+y=-1
x-y=2 x=1/2 y=-3/2
(3) x<0 y>0
x+y=-1
-x+y=2 x=-3/2 y=1/2
(4) x<0 y<0
x+y=-1
-x-y=2 无解

Answer 5

|x+y|=1
x^2+2xy+y^2=1
|x|+|y|=2
x^2+2|xy|+y^2=4
2|xy|-2xy=3
|xy|=1.5+xy
所以xy<0
如果x>0 y<0 x+y>0
则x+y=1 x-y=2 x=3/2 y=-1/2
如果x>0 y<0 x+y<0
则x+y=-1 x-y=2 x=1/2 y=-3/2
如果x<0 y>0 x+y>0
则x+y=1 x-y=-2 x=-1/2 y=3/2
如果x<0 y>0 x+y<0
则x+y=-1 x-y=-2 x=-3/2 y=1/2