Question

已知函数f(x)=sinx/2cosx/2+√3 (cosx/2)^2

(1)将f(x)改写成Asin(ωx+θ）的形式，并求其图像对称中心的横坐标；
(2)如果△ABC 的三边a、b、c满足b^2=ac，且边b所对的角为x，试求角x的范围及此时函数f(x)的值域。
要经过，结果

Answer 1

（1）f(x)=(1/2)sinx +(√3/2)(1+cosx)
=(1/2)sinx+(√3/2)cosx+ √3/2
=sin(x+π/3)+ √3/2
令 x+ π/3=kπ，得图像对称中心的横坐标为 x=kπ- π/3，k是整数。
（2）b²=ac，
cosx=(a²+c²-b²)/(2ac)=(a²+c²-ac)/(2ac)≥(2ac -ac)/(2ac)=1/2，
所以 0<x≤π/3
从而 π/3<x+π/3≤2π/3
√3/2≤sin(x+π/3)≤1
√3≤f(x)≤1+√3/2
即 值域为[√3，1+√3/2]

Answer 2

（1）f(x)=(1/2)sinx+(√3/2）（1+cosx)
=sin(x+π/3)+√3/2，
其图像对称中心的横坐标由x+π/3=kπ,k∈Z,确定，即
x=(k-1/3)π.
(2)b^2=ac,由余弦定理，
cosB=（a^+c^-b^)/(2ac)>=ac/(2ac)=1/2,
∴x=B∈（0，π/3],这时
x+π/3∈(π/3,2π/3],
sin(x+π/3)∈[√3/2,1],
f(x)的值域是[√3,1+√3/2].

Answer 3