Question

已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,F为CD上一点,∠1=∠2,过F点作FG∥AB交BC于G,求证:CE=BG

Answer 1

过点F作FH平行BC，交AB于点H

所以四边形BHFG是平行四边形　

所以GB＝FH

因为∠1=∠2,三角形ACE和三角形ADF都是直角三角形

所以∠AFD＝∠AEC　

因为∠AFD＝∠CFE

所以∠AEC＝∠CFE　　　

所以CE＝CF　

在三角形AFC和三角形AFH中

∠1=∠2,AF=AF, ∠ACF=∠AHF

所以三角形AFC和三角形AFH全等

所以FH＝CF

所以CE=CF=GB

追问

∠ACF=∠AHF这个是怎么得到的

追答

∠ACF+∠DCB=90度,∠ABC+∠DCB=90度,所以∠ACF=∠ABC,FH平行BC,所以∠AHF=∠ABC,所以∠ACF=∠AHF

Answer 2

解：由题可得：FG∥AB,作GQ垂直AB于Q则：GQ=FD
CE=AC*tan ∠1
BG=FD/sin(90-2*∠1)=FD/COS2*∠1
又因为FD=AD*tan∠2
AD=AC*COS2*∠1
综上所述，BG=AD*tan∠2/COS2*∠1
=AC*COS2*∠1*TAN∠2/COS2*∠1
=AC*tan∠1
=CE

Answer 3

证明：过点F作FM⊥AC于M，过点G作GN⊥AB于N
∵∠ACB=90
∴∠A+∠B=90
∵CD⊥AB
∴∠A+∠ACD=90
∴∠B=∠ACD
∵∠CEF=∠B+∠2, ∠CFE=∠ACD+∠1, ∠1=∠2
∴∠CEF=∠CFE
∴CE=CF
又∵∠1=∠2, FM⊥AC, CD⊥AB
∴FM=FD （角平分线性质），∠FMC=90
∵FG∥AB, GN⊥AB
∴矩形DFGN, ∠BNG=90
∴FD=GN
∴FM=GN
∴△CMF≌△BNG (AAS)
∴CF=BG
∴CE=BG