Question

解方程：4^x+4^(-x)-6[2^x+2^(-x)]+10=0

Answer 1

因为4^x+4^(-x)-6[2^x+2^(-x)]+10=0,
所以(2^x)^2+[2^(-x)]^2-6[2^x+2^(-x)]+10=0,
所以[2^x+2^(-x)]^2-6[2^x+2^(-x)]+8=0,
所以[2^x+2^(-x)-2][2^x+2^(-x)-4]=0,
所以2^x+2^(-x)=2或2^x+2^(-x)=4,
因为2^(-x)=1/(2^x),
所以设a=2^x,
所以有a+1/a=2或a+1/a=4,
所以a^2-2a+1=0或a^2-4a+1=0,
所以a=1或a=2±√3,
所以2^x=1或2^x=2±√3,
所以x=0或x=log(2,2±√3).

Answer 2

令2^x=y
y^2+y^-2-6(y+1/y)+10=0
因为y∧2+1/y∧2=(y+1/y)∧2-2
所以y+1/y)∧2-6(y+1/y)+8=0
(y+1/y-4)(y+1/y-2)=0
y+1/y=4或y+1/y=2

y1=1 或y2=2+√3 或y3= 2-√3
x1=0 或 x2=log2(2-√3 ) 或x3=log2(2-√3 )

Answer 3

4^x+4^(-x)-6[2^x+2^(-x)]+10=0
[4^x+2+4^(-x)]-6[2^x+2^(-x)]+8=0
[2^x+2^(-x)]^2-6[2^x+2^(-x)]+8=0
[2^x+2^(-x)-4][2^x+2^(-x)-2]=0
所以2^x+2^(-x)-4=0或2^x+2^(-x)-2=0
若2^x+2^(-x)-4=0
则(2^x)^2-4*2^x+1=0
2^x=2±√3
x=log(2)(2±√3)
若2^x+2^(-x)-2=0
则(2^x)^2-2*2^x+1=0
(2^x-1)^2=0
2^x=1
x=0

所以有3个解
x=log(2)(2+√3)
x=log(2)(2-√3)
x=0

Answer 4

2^x=y
y^2+y^-2-6(y+1/y)+10=0
z=y+1/y
y^2+y^-2=z^2-2
z^2-2-6z+10=0
z^2-6z+8=0
z=2 or 4
y=1 or 2+根号3 or 2-根号3
x=0 or log(2,2+根号3) or log(2,2-根号3)