Question

已知二次函数y=x²-2mx+4m-8

以抛物线Y=X方-2MX+4m-8的顶点A为一个顶点作抛物线的内接正三角形AMN（M,N两点在抛物线上），请问；三角形AMN的面积是m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

Answer 1

解：y=(x-m)^2-m^2+4m-8，则顶点A的坐标为(m，-m^2+4m-8)，设点M的坐标为(m+t，t^2-m^2+4m-8)(t>0)，由对称性可知点M的坐标为(m-t，t^2-m^2+4m-8)(t>0)，
∵△AMN是正三角形，∴|MN|=|AM|，即2t=√[t^2+(t^2)2]，解得t=√3，△AMN的面积=√{[3√3}/3×3×[[3√3}/3-√3]}=9/2。(海伦公式）

追问

能不能简单点？看不懂 海伦公式是什么

追答

P=(a+b+c)/2，S=√[P(P-a)(P-b))(P-c)]，(a，b，c三角形的三边，P是三角形的三边周长的一半)
△AMN的面积=√{[3√3]×3×[[3√3]-√3]}=3√6。(海伦公式）

Answer 2

解：y=(x-m)^2-m^2+4m-8，则顶点A的坐标为(m，-m^2+4m-8)，设点M的坐标为(m+t，t^2-m^2+4m-8)(t>0)，由对称性可知点M的坐标为(m-t，t^2-m^2+4m-8)(t>0)，
∵△AMN是正三角形，∴|MN|=|AM|，即2t=√[t^2+(t^2)2]，解得t=√3，△AMN的面积=√{[3√3}/3×3×[[3√3}/3-√3]}=9/2。(海伦公式）