Question

概率论 简单证明题。

用分布函数性质证明：在间断点处，P(X=a)=F(a)-F(a-0).(11分)

Answer 1

分布函数为左连续右极限存在的函数(规定如此)
F(a)=P(X<= a)
F(a-0)=limit_{y从左趋近a} P(X<= y)

F(a)-F(a-0)=P(X<=a) - limit_{y从左趋近a} P(X<= y)
=limit_{y从左趋近a} ( P(X<=a)-P(X<=y) )
=limit_{y从左趋近a} P(y< X <=a)
=P(X=a)

这里最后一个等号用到了概率测度的连续性。

如果不用测度论的知识的话，只需要知道:
P(X<=a) = P(X<a)+P(X=a)
而P(X<a)=F(a-0) 即得。