Question

已知函数f(x)=2√3cosx^2-2sinxcosx-√3

已知函数f(x)=2√3cosx^2-2sinxcosx-√3 (1)求函数f(x)的最小正周期和图像的对称轴方程 (2)求函数f(x)的单调递增区间 (3)若将f(x)的图像向左平移π/3个单位后，再将所有的点的横坐标缩小到原来的1/2倍，得到函数g(x)的图像，写出g(x)的解析式 (4)求函数g(x)在区间[-π/8，π/8]上的值域 注:求详细过程，答得好我会提高奖励分值哦~

Answer 1

(1)
f(x)=2√3cos²x-2sinxcosx-√3
=√3*（1+cos2x)-sin2x-√3
=√3cos2x-sin2x
=2(√3/2cos2x-1/2*sin2x)
=2cos(2x+π/6)
f(x)的最小正周期T=2π/2=π

对称轴与曲线交点为最值点
由2x+π/6=kπ,得对称轴方程
x=kπ/2-π/12,k∈Z
(2)
由 2kπ-π≤ 2x+π/6≤2kπ
得 kπ-7π/12≤x≤kπ-π/12,k∈Z
∴函数f(x)的单调递增区间 是
[kπ-7π/12,kπ-π/12]k∈Z
(3)
将f(x)的图像向左平移π/3个单位后,
得到y=2cos[2(x-π/3)+π/6],
即y=2cos(2x-π/2)=2sin2x
将y=2sin2x所有的点的横坐标缩小到
原来的1/2倍,得到g(x)=2sin4x
(4)
∵x∈[-π/8，π/8]
∴4x∈[-π/2,π/2]
∴g(x)最小值为-2,最大值为2
∴g(x)的值域为[-2,2]