Question

设F1,F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点

(1)若椭圆C上的一点A(1,3/2)到F1，F2两点的距离之和等于4，求出椭圆C的方程和焦点的坐标
(2)左右椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM,PN的斜率都存在，并记为Kpm,Kpn时那么Kpm与Kpn之积是与点P位置无关的定值。试写出双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)具有的类似特征的性质，并加以证明

Answer 1

楼上回答的第二问简直不知所云，在这里不懂装懂，误人子弟，最讨厌这种人。
(1)由椭圆的第一定义可知2a=4,a=2,将椭圆C上的一点A(1,3/2)和a=2代入到椭圆方程中可得b²=3,故椭圆方程为x²/4+y²/3=1，c=√a²-b²=1,那么焦点F1，F2坐标为(1,0),(-1,0)
(2)设M坐标为(x1,y1)，P坐标为(x2,y2),M,N是关于原点对称的，所以N坐标为(-x1,-y1).于是有Kpm=(y2-y1)/(x2-x1)，Kpn=(y2+y1)/(x2+x1)，则Kpm*Kpn=(y2^2-y1^2)/(x2^2-x1^2)
由P，M都是椭圆上的点，则有
x1^2/a²+y1^2/b²=1 ①
x2^2/a²+y2^2/b²=1 ②
②- ①得
(x2^2-x1^2)/a²+(y2^2-y1^2)/b²=0
即Kpm*Kpn=(y2^2-y1^2)/(x2^2-x1^2)=-b²/a²，所以说Kpm*Kpn与P位置无关的定值。
双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)具有类似特征的性质就是
Kpm*Kpn=b²/a²
证明：与前面的椭圆情况类似，后面把符号改一下，即
x1^2/a²-y1^2/b²=1 ①
x2^2/a²-y2^2/b²=1 ②
②- ①得
(x2^2-x1^2)/a²-(y2^2-y1^2)/b²=0
即Kpm*Kpn=(y2^2-y1^2)/(x2^2-x1^2)=b²/a²，所以说Kpm*Kpn与P位置无关的定值。

Answer 2

1、
2a=4
a=2
x²/4+y²/b²=1
过A
代入得b²=3
x²/4+y²/3=1

2、
y-3/2=kx
y=kx+3/2
代入
3x²+4y²=12
3x²+4k²x²+12kx+9=12
(4k²+3)x²+12kx-3=0
x1+x2=-12k/(4k²+3)
x1x2=-3/(4k²+3)
y=kx+3/2
所以y1y2=(kx1+3/2)(kx2+3/2)
=k²x1x2+3k/2*(x1+x2)+9/4
=(-48k²+27)/(16k²+12)

MN是直径，O在圆上
所以OM垂直ON
所以(y1/x1)*(y2/x2)=-1
x1x2+y1y2=0
-3/(4k²+3)+(-48k²+27)/(16k²+12)=0
-12-48k²+27=0
k²=5/16
所以y=±(√5/4)x+3/2