Question

设有颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此卫星离地球相距m万千米和三分之四m

万千米时，经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角为二分之π和三分之π，球该卫星与地球的最近距离

Answer 1

解：建立如图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（-c，0）处，

椭圆的方程为x2 /a2 +y2/ b2 =1，

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为π/ 3 时，

由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=π/ 3 （或∠xFA′=π /3 ）．

作AB⊥Ox于B，则|FB|=1 /2 |FA|=2/ 3 m，

故由椭圆的第二定义可得

m=c /a （a2/ c -c），①4 /3 m=c /a （a2 /c -c+2 /3 m）．②

两式相减得1 /3 m=c a •2 /3 m，∴a=2c．

代入①，得m=1 /2 （4c-c）=3 /2 c，

∴c=2/ 3 m．∴a-c=c=2 /3 m．

答：彗星与地球的最近距离为2 3 m万千米．