Question

已知α，β，γ为锐角，sin²α＋sin²β＋sin²γ＝1.求证π/2＜α＋β＋γ＜3π/4

Answer 1

sin²α＋sin²β＋sin²γ＝1，
∴2sin²γ=2-2sin^α-2sin²β
=cos2α+cos2β
=2cos(α+β)cos(α-β),①
α,β,γ是锐角，
∴0<=|α-β|<α+β<π,
∴cos(α-β)>cos(α+β),
由①，cos|α-β|>sinγ=cos(π/2-γ)>cos(α+β)>0,
∴|α-β|<π/2-γ<α+β<π/2,
∴α+β+γ>π/2;
由α+β<π/2轮换得
β+γ<π/2,
γ+α<π/2,
上述三式相加，除以2，得α+β+γ<3π/4.