Question

高中暑假数学题，如图~跪求大神解答~

Answer 1

已知：f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2, f(1)=3, 当x>0时，f(x)>2,设g(x)=f(x)-1
求证:g(x+y)=g(x)g(y)
由g(x)=f(x)-1得：
左边：g(x+y)= f(x+y)-1
= f(x)f(y)-f(x)-f(y)+1
右边：g(x)g(y)=( f(x)-1)( f(y)-1)
= f(x)f(y)-f(x)-f(y)+1

（2）若x任意数，g(x) ≠0,求证g(x)>0,g(x)是增函数
令x=0,y=1
F(1)=f(0)f(1)-f(0)-f(1)+2,将f(1)=3代入：
F(0)=2
令m>0,x=m,y=-m,由f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2得：
f(0)= f(m)f(-m)-f(m)-f(-m)+2=2
f(m)f(-m)=f(m)+f(-m)两边除以f(m)f(-m)得：
1=1/f(-m)+1/f(m)
1/f(-m)=1-1/f(m)
因为当m>0时，f(m)>2
0<1/f(m)<1/2
1>1-1/f(m)>1/2
1>1/f(-m)> 1/2
所以1<f(-m)<2，即x<0，1<f(x)<2
所以当x>0, f(x)>2, 得g(x)=f(x)-1>1
当x<0, 1<f(x)<2,得0<g(x)<1
当x=0时，f(x)=2,得g(x)=1
综上，x为任意数时，g(x)>0

由（1）所证g(x+y)=g(x)g(y)得：
设x=x1,x+p=x2,y>0,所以x2>x1
g(x2)=g(x1)g(p)
g(x2)/g(x1) = g(p)=f(p)-1>1
因为g(x)>0，所以g(x)是增函数

（3）a(n)=f(n)，求证a(n+1)=2a(n)-1,求an通项式
由a(n)=f(n), 和f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2得：
a(n+1)=f(n+1)= f(n)f(1)-f(n)-f(1)+2
=2 f(n)-1（将f(1)=3代入）
=2a(n)-1（证毕）

a(n+1)=2a(n)-1 (1)
a(n)=2a(n-1)-1 (2)
a(n-1)=2a(n-2)-1 (3)
。。
a2=2a1-1 (n)

将（1）+2×（2）+2^2×（3）+。。。2^(n-1) ×(n) 得：
a(n+1)= 2a1×2^(n-1)-（1+2+2^2+2^3+…2^(n-1)）
=2f(1) ×2^(n-1)+1-2^n（等数列求和公式）
=1+2^(n+1)
所以a(n)= 1+2^n
给的太少了哦，是不是追加点分哦

Answer 2

（1）
没花头，代入就行了。
（2）、（3）
将x=0,y=0代入f(x+y) = f(x)*f(y)-f(x)-f(y)+2
解得f(0) = 1或2
将x=1,y=0代入其中，解得f(0)=2

此时有f(0) = 2,f(1) = 3

因为当x>0时，f(x)>2，则g(x)>1>0
将y=1代入到f(x+y) = f(x)*f(y)-f(x)-f(y)+2得到
f(x+1) = 2f(x) - 1
f(x+1) - 1 = 2[f(x) - 1]
得到{f(x)-1}是一公比为2的等比数列。
可以得到f(x)-1=2*2^(x-1) -->f(x) = 2^x+1

f(x)初始值f(0)=2,可知f(x)为一递增函数。则g(x)也为一递增函数。

An = 2^n + 1

Answer 3

g(x+y)=f(x+y)-1=f(X)*f(Y)-f(X)-F(Y)+2-1=（f(X)-1）（F(Y)-1）=右边