Question

如图,在四边形ABCD中，已知AD垂直于 CD,AD=10,AB=14,角BDA=60度,角BCD=135度,求BC的长

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Answer 1

在△ABD中，由正弦定理：a3=60°,AB/sin60°=AD/sina3

14/sin60°=10/sina3,sin∠ABD=5√3/14,

∠ABD<60°,cos∠ABD=11/14

cosA=-cos(a1+a3)=-[cosa1cosa3-sina1sina3]=-[1/2*11/14-5√3/14*√3/2]=1/7

BD²=100+196-2*10*14*1/7=256,BD=16

由正弦定理：BC=sin30*BD/sin135=8√2

思路：先求sin∠ABD，再求cosA，再求BD，然后在BDC中由正弦定理求出BC

Answer 2

连接BD
做AM⊥BD
在Rt△ADM中
∵∠BDA=∠MDA=60°
∴∠MAD=30°
∴DM=1/2AD=5
∴AM=√(AD²-DM²)=√(10²-5²)=5√3
在Rt△ABM中
BM=√(AB²-AM²)=√[14²-(5√3)²]=11
∴BD=BM+DM=11+5=16
∵AD⊥CD
即∠ADC=90°
又∵∠BAD=60°
∴∠BDC=30°
在△BCD中，由正弦定理得
BC/sin∠BCD=BD/sin∠BCD
即BC/sin30°=16/sin135°
BC=16×sin30°/sin135°
=(16×1/2)/(√2/2)
=16/√2
=8√2

Answer 3

解:设BD=X.
∵cos∠ADB=(AD²+BD²-AB²)/(2*AD*BD).
即cos60°=(100+x²-196)/(20x);
x²-10x-96=0.
(x-16)(x+6)=0.
∴x=16;x=-6不合题意,舍去.
根据正弦定理得:BC/sin∠BDC=BD/sin∠BCD.
即BC/sin30°=16/sin135°.
BC/(1/2)=16/(√2/2).
故BC=8√2.