Question

等差数列例题,讲解

1+（1/1+2）+（1/1+2+3）+........+1/1+2+3......+10=？
过程+每步讲解

Answer 1

考察一般项：
1/(1+2+...+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)]=2[1/n -1/(n+1)]

1+1/(1+2)+...+1/(1+2+3+...+10)
=2(1-1/2+1/2-1/3+...+1/10-1/11)
=2(1-1/11)
=20/11

一般的：
1+1/(1+2)+...+1/(1+2+...+n)
=2[1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)

追问

每一步能详解吗？

追答

很清楚啊。讲一下吧：
如果直接加，会很麻烦，需要考察其特性。
一般项为1/(1+2+...+n)，只要找出它和前后项的关系，就可以简化计算。
1/(1+2+...+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)]=2[1/n -1/(n+1)]
这里要用到两个知识点：
1.公式：1+2+...+n=n(n+1)/2
2.1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
证明过程：
1/n -1/(n+1)=[(n+1)-n]/[n(n+1)]=1/[n(n+1)]
这个是最基本的变换，一般的，还有：1/[n(n+k)]=(1/k)[1/n -1/(n+k)]，证明过程同上，从略。
这个变换很简单，也很容易理解，如果这个学不懂的话，估计学数学就没戏了。

剩下的就好办了，逐项消减掉，就剩第1项和最后一项，这个不用说了吧。

Answer 2

1+1/(1+2)+...+1/(1+2+3+...+10)
=2(1-1/2+1/2-1/3+...+1/10-1/11)
=2(1-1/11)
=20/11