Question

已知△acb为等腰直角三角形 ∠acb=90° 点e在ac上,ef⊥ac交ab于f,连be,cf,m,n分别为cf,be的中点

(1)如图1MN/CE=1/2,
(2)如图2,将三角形AEF绕点A顺时针旋转45°(1)的结论是否成立,并加以说明.(不要用相似证）

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

Answer 1

如图1，延长EM，交BC于G,
∵FE⊥BC,∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
∴∠MCG=∠MFE，∠MGC=∠MEF，
又∵CM=FM，
∴△CMG≌△FME,
∴MG=ME，CG=EF，
又∵BN=EN,
∴NM=BG/2
∵∠EFA=∠A=45°，
∴AE=EF=CG,
又∵BC=AB，
∴MN=BG/2=(BC-CG)/2=(AC-AE)/2=CE/2
即MN/CE=1/2

（2）延长EM至G，使MG=ME，
又∵MC=MF，∠CMG=∠FME，
∴△CGM≌△FME，
∴CG=EF=AE，∠MEF=∠MGC,
∴EF∥CG，
又∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠BCG=45°（间接），
又∵BC=CA，
∴△BCG≌△CAE，
∴BG=CE，
又∵MN=BG/2(三角形中位线定理)
∴MN/CE=1/2

Answer 2

（1）证明：
连接EM并延长，交BC于G,
∵FE⊥AC,∠ACB=90°
∴EF∥BC
∴∠MCG=∠MFE，∠MGC=∠MEF（平行线对顶角相等）
又∵CM=FM
∴△CMG≌△FME(AAS)
∴MG=ME，CG=EF
又∵BN=EN
∴NM=BG/2（在三角形中，中位线等于底边的一半）
∵∠EFA=∠A=45°
∴AE=EF=CG
又∵BC=AC
∴MN=BG/2=(BC-CG)/2=(AC-AE)/2=CE/2
即MN/CE=1/2

(2)取CE中点G，连结MG、NG，
则MG=EF/2=AE/2，NG=BC/2=AC/2（在三角形中，中位线等于底边的一半）
∵EF与BC所成角为45°，MG∥EF（在三角形中，中位线平行于底边）
∴MG与BC所成角为45°
又∵NG∥BC（在三角形中，中位线平行于底边）
∴∠NGM=45°=∠BAC，
又∵MG/AE=NG/AC=1/2
∴△MNG∽△ECA，相似比为1/2
∴MN/CE=1/2

目前只相到用相似证，不好意思。

Answer 3

NG=1/2AC;MG=1/2EF
NM=NG-MG=1/2(AC-EF)=1/2(AC-AE)=1/2CE