证明：
（a＋b）／2≥√ab
对于1／a和1／b同样成立
（1／a＋1／b）／2≥1／√ab
√ab≥2／（1／a＋1／b）
算数平均：(a+b)/2
几何平均：根号下（ab）
调和平均：2／（1／a＋1／b）
其实就是证明(a+b)/2 + 2/(1/a+1/b) >= 2 * 根号下(ab)
左边化简＝（a＋b）／2＋2ab／（a＋b）令M＝（a＋b）／2，
N=2ab/(a+b)用(M+N)/2 >= 根号下(MN)即可得证。
扩资资料
几何平均数、加权平均数、算术平均数、调和平均数的大小关系：
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。
就是 1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2] (a>0,b>0)
证明: 1)几何平均数=<算术平均数<-->√(ab)
=<(a+b)/2.......(*) a>0,b>0--->√a-√b
是任意实数 --->(√a-√b)^2>=0 --->a+b-2√(ab)>
=0 --->a+b>
=2√(ab) --->√(ab)
=<(a+b)/2 2)(*)--->a+b>=2√(ab) --->2ab
=<(a+b)√(ab) --->2ab/(a+b)=<√(ab)
--->1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)......(**)
调和平均数
=<几何平均数 3)(a-b)^2>
=0--->a^2+b^2>
=2ab --->a^2+b^2+2ab=<2(a^2+b^2) --->2(a+b)^2=<4(a^2+b^2) --->[(a+b)/2]^2>
=(a^2+b^2)/2 --->(a+b)/2
=<√[(a^2+b^2)/2]......(***)算术平均数
=<平方平均数。
以直角三角形斜边为直径作圆，斜边高线将之分为a、b两段，斜边高=√(ab)，你看它会大于所作圆的半径吗？
调和平均数？
这类平均数之间的大小关系都是基于a+b≧√(ab)，其它的等式均由此式导出，也就是基于(a-b)^2≧0这一公理。如果你认为只有完全写成√(ab)≧2/[(1/a)+(1/b)]才算证明，那我无能予助；如你不是如此执着，可以试试将基本不等式中（或示意图上）的a、b分别换成1/a、1/b看看如何？
基础，几何和算术运算：（一 - 二）^ 2> = 0，即，（+）^ 2 - 4AB> = 0，它是a + b的=√（4AB）= 2 √（从头）
调和的几何形状：使用上面的等式，1 /（1 / + 1 /）=一个b /（“+） 2√（从头） 。 />算术平方：（1 ^ 2 + B ^ 2）/ 2 - （个/ 2 + B / 2）^ 2 =（A - B）^ 2/4> = 0，√（（ ^ 2 + B ^ 2）/ 2）=（A + B）/ 2
n $的几何和算术，通过感应来证明，有一个小动作，也可以被用来作为其他一些不平等推断，如排序不等式，柯西不等式，Jensen不等式。是相似的。凸函数的Jensen不等式，证明，利用高等数学，但越来越广泛，上述的一些不平等似乎也可以用它来发动。看初等证明方法，或参阅比赛书吧。
可以取log后直接用Jensen不等式证明，或如果你知道怎么证算术平均大于等于几何平均（书上有很多方法）那么直接应用 就有 1/a1+1/a2+..+1/an>=n(1/(a1a2..an))^(1/n) 直接得到
(a1a2a3..an)^(1/n)>=n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
是证根号下ab>=2ab/a+b
对啊，n=2的时候，就是(a1*a2)^(1/2)>=2/(1/a1+1/a2)=2a1a2/(a1+a2) [上下同乘a1a2]
