Question

已知△abc的两边ab,ac的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根，第三边BC的长为5

k为何值时，三角形ABC是等腰三角形？并求三角形ABC的周长

Answer 1

1. ab或ac=5
x=5代入方程得
25-5（2k+1)+k(k+1)=0
k²-9k+20=0
(k-4)(k-5)=0
k1=4,k2=5
当k=4时，原方程即 x²-9x+20=0
x1=4,x2=5
∴另一边=4
此时 三角形ABC的周长=5+5+4=14
当k=5时，原方程即 x²-11x+30=0
x3=5,x4=6
∴另一边=6
此时 三角形ABC的周长=5+5+6=16
2. ab=ac时
（2k+1)²-4k(k+1)=0
4k²+4k+4-4k²-4k=0
4=0
∴ab≠ac
综上所述，当k=4时,三角形ABC是等腰三角形,三角形ABC的周长是14
k=5时,三角形ABC是等腰三角形,三角形ABC的周长是16

Answer 2

方程 x^2-(2k+1)+k(k+1)=0 的根为 x1=k ，x2=k+1 ，
因为三角形是等腰三角形，所以 k=5 或 k+1=5 ，
解得 k=4 或 5 ，
当 k=4 时，周长=4+5+5=14 ，
当 k=5 时，周长=5+5+6=16 。

Answer 3

x^2-(2k+1)x+k(k+1)=0的二根为x=k, x=k+1
三角形ABC是等腰三角形；
所以 k=5;或k+1=5
即k=5;或k=4
检验均符合
三角形的周长为16或14

Answer 4

解设方程两根为x1，x2，解关于x方程
（x-k）（x-k-1）=0
得：x1=k，x2=k+1
等腰三角形分两种情况
若x1=BC=5；则周长为5+5+6=16
若x2=BC=5；则周长为5+5+4=14