Question

已知等差数列｛an｝的公差大于0，且a3 a5是方程x^2-14x+45=0的两根，数列｛bn｝的前n项和为Sn

已知等差数列｛an｝的公差大于0，且a3 a5是方程x^2-14x+45=0的两根，数列｛bn｝的前n项和为Sn,且Sn=1-bn/2(n属于N*)
求数列｛an) {bn}的通项公式
若cn=an乘bn,求数列｛cn}的前n项和Tn
第二问可以不做

Answer 1

解：
公差d>0，数列为递增数列，a3<a5
x²-14x+45=0
(x-5)(x-9)=0
x=5或x=9
a3=5 a5=9
a5-a3=2d=9-5=4
d=2
a1=a3-2d=5-4=1
an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2n-1

n=1时，S1=b1=1-b1/2
(3/2)b1=1
b1=2/3
n≥2时，
Sn=1 -bn/2 S(n-1)=1- b(n-1)/2
bn=Sn-S(n-1)=1-bn/2 -1+b(n-1)/2
(3/2)bn=b(n-1)/2
bn/b(n-1)=1/3，为定值。
数列{bn}是以2/3为首项，1/3为公比的等比数列。
bn=(2/3)(1/3)^(n-1)=2/3ⁿ

cn=anbn=(2n-1)(2/3ⁿ)=4n/3ⁿ -2/3ⁿ
Tn=c1+c2+...+cn=4(1/3+2/3²+...+n/3ⁿ)-2(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ)
令Cn=1/3+2/3²+...+n/3ⁿ
则Cn/3=1/3²+2/3³+...+(n-1)/3ⁿ +n/3^(n+1)
Cn-Cn/3=(2/3)Cn=1/3+1/3²+...+1/3ⁿ- n/3^(n+1)
Cn=(3/2)(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ) -(3/2)[n/3^(n+1)]

Tn=4Cn -2(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ)
=6(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ) -6n/3^(n+1) -2(1/3 +1/3²+...+1/3ⁿ)
=4(1/3)(1-1/3ⁿ)/(1-1/3) -2n/3ⁿ
=2 -2/3ⁿ -2n/3ⁿ
=2 - 2(n+1)/3ⁿ

Answer 2

（1）
解方程x^2-14x+45=0得到解为x=9或x=5
由于等差数列公差d>0,故a5=9，a3=5
公差d=(9-5)/2=2
可得{an}通项公式为：
an=5-2*2+2*（n-1）=2n-1
bn=Sn-S(n-1)=b(n-1)/2-bn/2 (n>1)
解得： 3bn=b(n-1) (n>1)
且b1=S1=1-b1/2 => b1=2/3
则等比数列{bn}的通项公式为：
bn=2/3 * (1/3)^(n-1)=2*(1/3)^n
（2）
cn=(2n-1)*2*(1/3)^n
则 ： Tn=1*2*(1/3)^1+3*2*(1/3)^2+……+(2n-3)*2*(1/3)^(n-1)+(2n-1)*2*(1/3)^n
3Tn=1*2*(1/3)^0+3*2*(1/3)^1+5*2*(1/3)^2+……+(2n-1)*2*(1/3)^(n-1)
相减得：2Tn=1*2*(1/3)^0+ 2*2*(1/3)^1+2*2*(1/3)^2+……+2*2*(1/3)^(n-1) -(2n-1)*2*(1/3)^n
中间用等比数列求和
求出：Tn=2-(1/3)^(n-1)-(2n-1)(1/3)^n=2-(2n+2)*(1/3)^n (n>1)
最后验证T1也满足。

Answer 3

因为 an的公差大于0
所以 a3=5 a5=9 则 a1=1 d=2
an=1+(n-1)*2=2n-1 (n>=1)

S1=b1=1-b1/2 b1=2/3
S2=2/3+b2=1-b2/2 b2=2/9 以此类推可得 b3=2/27 可知 bn是公比为2/3的等比数列
bn=(2/3)(1/3)^(n-1)

cn=(2/3)(2n-1)(1/3)^(n-1)=2(2n-1)(1/3)^n
Tn 分子相同后，分母为2Sn（你可以写几项看看）
Tn=2San(1/3)^n
San=(1+an)n/2 Tn=(1+2n-1)n(1/3)^n=2n^2(1/3)^n

Answer 4

因为等差数列｛an｝的公差大于0，所以a5>a3，a5=9，a3=5
设a3=a1+2d=5，a5=a1+4d=9，解得a1=1,d=2，
所以an=2n-1
Sn=1-bn/2，则b1=1-b1/2，b1=2/3
S(n+1)=1-b(n+1)/2，即Sn+b(n+1)=1-b(n+1)/2，将Sn=1-bn/2代入，得b(n+1)/bn=1/3
所以，bn=2(1/3)^n
Cn=(2n-1)*2(1/3)^n，C1=2/3,C2=2/3,C3=10/27
Tn=2/3+2/3+.......+(2n-3)*2(1/3)^(n-1)+(2n-1)*2(1/3)^n (1)
T(n+1)=2/3+2/3+......+(2n-3)*2(1/3)^(n-1)+(2n-1)*2(1/3)^n+(2n+1)*(2/3)(1/3)^n (2)
(2)*3-(1)，差项相减，得，3T(n+1)-Tn=2+4/3+......+4(1/3)^(n-1)+4(1/3)^n
3T(n+1)-Tn=2+2-2(1/3)^n
3Tn+3C(n+1)-Tn=4-2(1/3)^4
2Tn=4-2(1/3)^n-3[(2n+1)*2(1/3)^(n+1)]
Tn=2-2(1/3)^n-2n(1/3)^n
思路就是这样，计算不知道有没有问题，参考一下吧。

Answer 5

对于an：
设数列an公差为d
由于d>0，故a5>a3。
由a3、a5是方程x^2-14x+45=0的两根可求得：a3=5，a5=9.
且能求得：d=（a5-a3）/（5-3）=2. 以及a1=a3-（3-1）*d=1.
因此an通项公式为：an=a1+（n-1）*d=2n-1.

对于bn：
由Sn=1-bn/2知Sn-1=1-bn-1/2 （这里n-1分别在S和b的右下角）
两式相减可得Sn-Sn-1=(bn-1/2) - （bn/2），即bn=Sn-Sn-1=(bn-1/2) - （bn/2），
可求得:bn/bn-1=1/3.
由此可知{bn}是公比为q=1/3的等比数列
又因为b1=S1=1-b1/2，可求得：b1=2/3
因此bn=b1*q^n-1=2/(3^n).

对于cn：
｛cn}的前n项和：Tn=an*bn=1*2/3+3*2/3^2+5*2/3^3+……+（2n-1）*2/3^n.
3Tn=1*2+3*2/3+5*2/3^2+7*2/3^3……+（2n-1）*2/3^n-1.
两式错位相减可得：2Tn=1*2+2/3+2/3^2+2/3^3+……+2/3^n-1 - (2n-1)/3^n
Tn=2*(1-n/3^n).

解题思路是这样，可能我计算过程存在失误，只要你记住解题思想就行了，自己再好好算一遍仨。