Question

已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若角F1PF2=90度，求椭圆离心率的取值范围

Answer 1

解答：解∵P点满足∠F1PF2=90°，
∴点P在以F1F2为直径的圆上
又∵P是椭圆上一点，
∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，
∵F1、F2是椭圆
x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0)
的焦点
∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，
两边平方，得c2≥b2
即c2≥a2-c2⇒2c2≥a2
两边都除以ea2，得2e2≥1，
∴e≥
√2 /2 ，结合0＜e＜1，
∴
√2/ 2 ≤e＜1，即椭圆离心率的取值范围是[√2 /2 ，1）．
故答案为：[√2/ 2 ，1）

Answer 2

e≥ √2/2

解∵P点满足∠F1PF2=90°，
∴点P在以F1F2为直径的圆上
又∵P是椭圆上一点，
∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，
∵F1、F2是椭圆

x^2 /a^2+y^2 /b^2 =1(a＞b＞0)的焦点
∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，
两边平方，得c^2≥b^2
即c^2≥a^2-c^2⇒2c^2≥a^2
两边都除以2a^2，得(c/a)^2≥1/2，
∴e≥√2/2 ，结合0＜e＜1，∴√2/2 ≤e＜1，
即椭圆离心率的取值范围是[√2/2，1）

Answer 3

解答：解∵P点满足∠F1PF2=90°，
∴点P在以F1F2为直径的圆上
又∵P是椭圆上一点，
∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，
∵F1、F2是椭圆
x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0)
的焦点
∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，
两边平方，得c2≥b2
即c2≥a2-c2⇒2c2≥a2
两边都除以ea2，得2e2≥1，
∴e≥
√2 /2 ，结合0＜e＜1，
∴
√2/ 2 ≤e＜1，即椭圆离心率的取值范围是[√2 /2 ，1）．
故答案为：[√2/ 2 ，1）