Question

已知三角形ABC,以AB、AC分别为边向形外作等边三角形ABD和三角形ACE，M、G、H分别为BC、BD、CE的中点

求证：角GMH=120度

Answer 1

证明：连接GH,设BE,DC.GH相交于点O
因为三角形ABD是等边三角形
所以AD=AB
角DAB=60度
因为三角形ACE是等边三角形
所以AE=AC
角EAC=60度
因为角DAC=角DAB+角BAC=60+角BAC
角EAB=角EAC+角BAC=60+角BAC
所以角DAC=角EAB
所以三角形DAC和三角形EAB全等（SAS)
所以角ADC=角ABE
所以A,D,B,O四点共圆
所以角DAB=角DOB=60度
因为角DOB=角DOG+角BOG
所以角DOG+角BOG=60度
因为M,G,H分别是BC,BD,CE的中点
所以MG,MH分别是三角形BDC和三角形BCE的中位线
所以GM平行DC
MH平行BE
所以角HGM=角DOG
角GHM=角BOG
所以角HGM+角GHM=60度
因为角HGM+角GHM+角GMH=180度
所以角GMH=120度

Answer 2

连接BE，CD交于O点
利用中位线性质有GM∥CD，MH∥BE
则∠GMH = ∠180 - ∠HMC - ∠GMB
= 180 - ∠OCB - ∠OBC
= ∠BOC
然后由两个正三角形得到AD = AB，AC = AE
∠DAB = ∠CAE = 60
所以∠DAC = ∠BAE
所以△DAC ≌ △BAE
所以∠ADC = ∠ABE
∠GMH = ∠BOC
= ∠CDB + ∠DBO
= ∠CDB + ∠DBA + ∠ABE
= ∠CDB + ∠DBA + ∠ADC
= ∠ADB + ∠DBA
= 60 + 60
= 120