Question

求解一道数学题，谢谢！！

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=根号3/2,已知点P（0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是根7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于根号7的点的坐标

Answer 1

设椭圆方程为：x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0,因）
e=√3/2,即：c/a=√3/2，(a²-b²)/a²=3/4,a²=4b²

第一种情况：P(0,3/2)在椭圆上
又由于椭圆中心在原点，且焦点在X轴上，点P（0，3/2)在椭圆上
所以b=3/2,b²=9/4,a²=9
椭圆方程为：x²/9 + y²/（9/4)=1

第二种情况：P（0，3/2)不在椭圆上（注：解出的b应该小于3/2）
x²/a²+y²/b²=1 ，即x²/4b²+y²/b²=1,x²+4y²=4b²,x²=4b²-4y²
设椭圆上距离P的最远点的坐标是（x,y)，则有：
（x-0)²+(y-3/2)²,把x²=4b²-4y²代入，整理可得：
4b²-3（y²+y)+ (9/4),4b²是定值，-3（y²+y)是开口向下的二次函数，
显然最大值在y=-1/2处取得，为7，y=-1/2时，4b²-3（y²+y)+ (9/4)=7
解得：b²=1(符合b<3/2)，a²=4b²=4
椭圆方程为：x²/4+ y²=1

Answer 2

楼上正解

Answer 3

还不懂。可以问老师的！！！

Answer 4

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