Question

求等比数列求和公式推导

有计算式如下：
F=100X[1+(1+0.06)^3+(1.0.06)^2+(1+0.06)]
推导出如下公式：
F=100X{[(1+0.06)^4-1]/0.06}
要具体步骤，我推出来的是不是那个公式不知道问题出在哪

Answer 1

我来说明一下等比数列的求和公式推导过程，看楼主有没有不明白的地方。

设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn
Sn=a1+a2+a3+……+a(n-1)+an
=a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)
等式两边乘以公比q
q*Sn=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^(n-1)+a1*q^n
两式相减
Sn-q*Sn
=a1+(a1*q-a1*q)+(a1*q^2-a1*q^2)+……+[a1*q^(n-1)-a1*q^(n-1)]-a1*q^n
=a1-a1*q^n
即(1-q)*Sn=a1*(1-q^n)
得Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

具体到楼主的题目
F=100*[1+(1+0.06)^3+(1+0.06)^2+(1+0.06)]
=100*[(1+0.06)^0+(1+0.06)^1+(1+0.06)^2+(1+0.06)^3]
可以看出中括号内是首项为1、公比为1+0.06的等比数列前4项求和
套用上面的公式，a1=1，q=1+0.06，n=4，可得
F=100*{1*[1-(1+0.06)^4]/[1-(1+0.06)]}
=100*[(1+0.06)^4-1]/0.06
所以楼主的那个公式是正确的。

Answer 2

[1+(1+0.06)^3+(1+.0.06)^2+(1+0.06)]
相当于
[1+(1+0.06)+(1.+0.06)^2+(1+0.06)^3]
以1.为首项，1+0.06为公比，等比数列前4项的和
=[1-(1+0.06)^4]/[1-(1+0.06)]=[(1+0.06)^4-1]/0.06

追问

不懂。

追答

等比数列前n项和公式：

 

代公式就是答案了。还有什么地方不明白？

Answer 3

首先，分子分母同时乘以-1是没问题的。
你所给出的等比数列：可设An=A/(1+r)^n
公比q=1/（1+r）；首项A1=A/(1+r)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=A/(1+r)*[1-（1/1+r）^n]/[1-（1/1+r）]=A/r
*[(1+r)^n-1]/(1+r)^n