Question

求解高一数学题：已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若a的值域为R，求实数a的取值范围。求答案解析

答案：依题意，只要t=(a^2-1)x^2+(a+1)x+1能取到上的任何值，则f(x)的值域为R，故有﹛a^2>0
△≥0 所以1＜a≤5/3 又当a=1时，t=2x+1符合题意而a=-1时不合题意 所以1≤a≤5/3为所求 好吧，虽然俺知道答案，可是我就是不懂：因为t属于（0,∞），那么△又怎么能≧0？？？？跪求高人解答

Answer 1

嗯 首先，题目要求f(x)其值为R，也就是说，不管x怎么取值，总之要保证f能取到所有的数值，从lg的性质来看，要取到所有的数值的话，则要求t能取到所有大于0的数。换句话说，假如你t假设t>2,这样的话，就不符合了（因为0>t》2这段的lgt的值域就取不到了。）因此就必须要求定义域存在t》b，而b《0才可以满足要求。比如说b=-1，这样的话t》-1(虽然说0》t》-1这段取值lgt没有意义，但是这个是本身函数lg自身会去舍去，只要保证t>0这段全取到，才能保证lgt值域为R。)因此这样的话就是说要求：
t=(a2-1)x2+(a+1)x+1其值域必然要村子t>0这段，而且其他t的值域多进来一点都没关系，但是t>0这段一点都不可以少的。
这样子的话必然要求a^2-1>0,（因为假如a^2-1<0的话，t就存在一个最大的值，这样的话必然t《tmax,从而取不到t>tmax这段，最终会导致f(x)《lgtmax,而不是整个值域R了）
然后为了使得t>0这段都取到的话，必然 △≥0 (因为 假如△<0的话，也就是说其与x轴无交点，也即tmin>0，这样的话t》tmin,这样的t不是t>0,其中tmin>t>0这段就取不到了。 )
当a=1时，于是t=2x+1，这条直线中必然有t>0这段。符合条件。
当a=-1时，t=1，也就是说此时f(x)=lg1只存在一个值而不是R，因此不满足。

Answer 2

这样做可以避免函数漏解的情况 即把边界考虑进去一一在检验是否满足条件
你们以后后的题目中也会遇到相同的状况

追问

????还是不能理解

追答

可以这样理解 当△=0时，就可以保证t有解，题目只要求t>0，而△=0不代表t=0，而是说t有解。

Answer 3

题目中应为f（x）的值域为R，那么，由lg函数图象可知，t应该既能≧0也可小于0，则，△≥0 才能保证t与x轴有交点；若仅是t大于0，那么不能保证f（x）取到所有值，即违反条件其值域为R