Question

高数（导数与连续性）

有一个结论是：如果函数f(x)在(a,b)可导，且f(x)在a点右可导，在b点左可导，则f(x)在[a,b]可导；
我想问的是如果f(x)在(a,b)连续，且f(x)在a点左连续，在b点右连续，则f(x)在[a,b]连续吗；
上边说错了
有一个结论是：如果函数f(x)在(a,b)可导，且f(x)在a点右可导，在b点左可导，则f(x)在[a,b]可导；
我想问的是如果f(x)在(a,b)连续，且f(x)在a点右连续，在b点左连续，则f(x)在[a,b]连续吗；

Answer 1

如果f(x)在(a,b)连续，且f(x)在a点右连续，在b点左连续，则f(x)在[a,b]不一定连续！
主要是考虑在端点a,b是否连续。
f(x)在a点右连续只是表示f(x)在a点右极限=f(a),并不能保证在a点连续。
因为f(x)在a点连续，必须是f(x)在a点右极限=f(x)在a点左极限=f(a)！

追问

可是“如果函数f(x)在(a,b)可导，且f(x)在a点右可导，在b点左可导，则f(x)在[a,b]可导：”这个结论中f(x)在a点右可导也不能保证f(x)在a点左可导呀，那照你这么说也就不能保证f(x)在a点可导了，又怎么能说f(x)在闭区间【a,b】上可导哪？

追答

你说错了！
应该是：如果函数f(x)在(a,b)可导，且f(x)在a点左可导，在b点右可导，则f(x)在[a,b]可导！
同样：如果f(x)在(a,b)连续，且f(x)在a点左连续，在b点右连续，则f(x)在[a,b]连续！

Answer 2

你去翻看书上关于区间上连续的定义以及可导的定义。
你就知道，你上面说得这两个结论都是定义，而不是定理。
也就是说，f(x)在[a,b]上连续的定义就是：f(x)在(a，b)上连续，且
在a右连续，在b左连续。这称为f(x)在[a，b]上连续。
同样的道理：称f(x)在[a，b]上可导，如果f(x)在(a，b)可导，
在a右可导，在b左可导。
这些都是定义。

追问

额。。原来我的高数还这么菜。。。。，请问可是比如f(x)在a点右可导并，不能保证f(x)在a点左可导呀，如果说f(x)在闭区间【a,b】上可导，那不是说明f(x)在a点也可导了吗？

莫非f(x)在闭区间【a,b】上可导，只能说明f(x)在a点右可导，并不能说明f(x)在a点可导

追答

对。因为我们只考虑定义域[a，b]上函数的性质，不需要关心f(x)在x<a时的性质，因此
当说f(x)在[a，b]上可导时或者连续时，在端点都是指单侧可导或者单侧连续。
f(x)在a右可导，那么在a点是否左可导，以及f(x)在a点是否真正的可导，我们根本就不清楚。
也是不需要了解的。