Question

如图,△ABC是等边三角形,P是三角形外一点,且∠ABP+∠ACP=180°，求证；PB+PC=PA

延长PC到点D使CD=BP，连结AD这种做法怎么做？

Answer 1

证明：∵∠ABP+∠ACP=180°
∴ A、B、P、C四点共圆
在AP上取AQ=PC
在△ABQ和△CBP中
∵ AB=BC，AQ=PC
∠BAP=∠BCP（同弧上的圆周角相等）
∴△ABQ≌△CBP
故BQ=BP
又∠APB=∠ACB=60°
∴△BQP是等边三角形
∴ PB=PQ
于是 PA=PQ+QA=PB+PC

因为∠ABP+∠ACP=180
所以 ∠BAC+∠BPC=180
∠BPC=120
延长BP到 D 使得 PD=PC
∠CPD=60
PD=PC=CD
三角形∠PCA 和∠DCB 中
PC=DC
BC=AC
∠ACP=∠ACB+∠BCP
∠BCD=∠BCP+∠PCD
∠ACB=∠PCD=60
所以∠ACP=∠BCD
两三角形全等 AP=BD=BP+PD=BP+PC