Question

将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1。如图1所示。

将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1。如图1所示。
（1）当α=45°时，如图2，若线段OA与边A1D1的交点为E。线段OA1与AB的交点为F。可得下列结论成立：1.△EOP全等△FOP 2. PA=PA1 。试选一个证明、
（2）当0°>α>90°时，第（1）小题中的结论PA=PA1还成立吗? 理由
（3）在旋转过程中，记正方形A1B1C1D1与AB边交于P,Q两点，探究∠POQ的度数是否改变？如果变化，请描述它与α之间的关系，如果不变，请直接写出∠POQ的度数
要3的过程....

Answer 1

前两个简单带过

（1）连接AA1，则∵O是两个正方形的中心，∴OA=OA1∠PA1O=∠PAO=45°

∴∠AA1O=∠A1AO

∴∠AA1O-∠PA1O=∠A1AO-∠PAO

即∠AA1P=∠A1AP∴PA=PA1

（2）同上，

（3）的过程：F，F1为O点垂AB 与A1B1的点，因为旋转α，∠AOA1=∠FOF1=α，据上证明可知：∴∠AOP=∠POA1=∠FOQ=∠QOF1=α/2，：∴∠AOF1=α+45°=∠POQ+α/2+α/2

因此：∠POQ=45°

Answer 2

：（1）①根据旋转的性质可得：∠AOA1=45°，即可证明∠PFO=90°，则OE=OF，即可根据HL公理证明两三角形全等；
②先证明△EOP≌△FOP，再证明∴△APO≌△A1PO，即可证得；
（2）作OE⊥A1D1，OF⊥AB，垂足分别为E，F，首先△EOP≌△FOP证得∠APO=∠A1PO，即可证明△APO≌△A1PO，从而结论得证；
（3）根据（1）（2）的解题过程中∠POQ的大小不变，即可确定．
解答： （1）若证明①△EOP≌△FOP
当α=45°时，即∠AOA1=45°，又∠PAO=45°
∴∠PFO=90°，同理∠PEO=90°
∴$EO=FO=\frac{AB}{2}$
在Rt△EOP和Rt△FOP中，有$\left\{{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OP=OP}\end{array}}\right.$
∴△EOP≌△FOP
若证明②PA=PA1
法一证明：连接AA1，则∵O是两个正方形的中心，∴OA=OA1∠PA1O=∠PAO=45°
∴∠AA1O=∠A1AO
∴∠AA1O-∠PA1O=∠A1AO-∠PAO
即∠AA1P=∠A1AP∴PA=PA1
法二：证明，同①先证明△EOP≌△FOP
得∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A1PF∴∠APE+∠EPO=∠A1PF+∠FPO即∠APO=∠A1PO（2分）
在△APO和△A1PO中有$\left\{{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{∠APO=∠{A_1}PO}\\{∠PAO=∠P{A_1}O={{45}°}}\end{array}}\right.$

∴△APO≌△A1PO
∴PA=PA1
（2）成立
证明如下：法一证明：连接AA1，则∵O是两个正方形的中心，∴OA=OA1∠PA1O=∠PAO=45°
∴∠AA1O=∠A1AO
∴∠AA1O-∠PA1O=∠A1AO-∠PAO
即∠AA1P=∠A1AP∴PA=PA1
法二
如图，作OE⊥A1D1，OF⊥AB，垂足分别为E，F
则OE=OF，∠PFO=90°，∠PEO=90°
在Rt△EOP和Rt△FOP中，∴△EOP≌△FOP∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A1PF∴∠APE+∠EPO=∠A1PF+∠FPO即∠APO=∠A1PO
在△APO和△A1PO中有
O=45°∴△APO≌△A1PO
∴PA=PA1
（3）在旋转过程中，∠POQ的度数不发生变化，∠POQ=45°

Answer 3

?

Answer 4

图那？