Question

为什么实对称矩阵相似一定合同

实对称矩阵相似，则两个矩阵有相同的特征值，然后呢？

Answer 1

相似和合同从定义出发的话，没有任何关系，只是定义看起来比较相似而已，一个-1一个T。

但是实对称阵在等价对角阵的变换过程中用到的那个变换矩阵P可以是一个正交矩阵，也就是逆矩阵和置换矩阵合并了，因此实对称阵与对角阵的相似与合同才有关系。

实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

扩展资料：

两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。

对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。

参考资料来源：百度百科——实对称矩阵

Answer 2

相似和合同从定义出发的话，没有任何关系，只是定义看起来比较相似而已，一个-1一个T。
但是实对称阵在等价对角阵的变换过程中用到的那个变换矩阵P可以是一个正交矩阵，也就是逆矩阵和置换矩阵合并了，因此实对称阵与对角阵的相似与合同才有关系。

Answer 3

化成标准型,具有相同的正负惯性指数，所以就合同了

Answer 4

实对称矩阵正交相似于实对角阵
注意正交相似既是相似变换也是合同变换