Question

已知数列an的前n项和为sn,满足an+2sns(n-1)=0(n≥2，n为正整数)，a1=1/2

1，求sn，an,的表达式 2.若bn=2(1-n)an(n≥2，n为正整数),求证，b2^2+b3^2+....+bn^2＜2/3

Answer 1

(1)an+2sns(n-1)=0,an=sn-s(n-1)
化为1/sn-1/s(n-1)=2
数列1/sn为等差数列。公差d=2，s1=a1=1/2，有1/s1=2，所以1/sn=（n-1)*d+1/s1=2n
sn=1/(2n)
an=sn-s(n-1)=1/[2n(1-n)]
(2)bn=2(1-n)an=2(1-n)/[2n(1-n)]=1/n,
b2^2+b3^2+....+bn^2
=(1/2)^2+(1/3)^2+.....+(1/n)^2
<2[(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+……+1/(n-1)-1/(n+1)]
<2[1/3-1/(n+1)]
<2/3