Question

二次函数满足f(-1)=0对任意实数x,x-1小于等于f(x)小于等于x^2-3x+3,求表达式。

Answer 1

x-1<=f(x)<=x^2-3x＋3
对任意实数x都成立.
所以x-1=x^2-3x+3
x^2-4x+4=0 x=2时,也必须成立.
即2-1<=f(x1)<=2^2-3*2+3
1<=f(2)<=1 此时x=2
所以f(2)必须等于1
f(2)=1
设f(x)=ax^2+bx+c
代入(-1,0) 及(2,1)
得：0=a-b+c b=a+c
1=4a+2b+c 1=4a+2(a+c)+c=6a+3c c=1/3-2a
b=a+1/3-2a=1/3-a
所以方程可化为：f(x)=ax^2+(1/3-a)x+(1/3-2a)
又ax^2+(1/3-a)x+(1/3-2a)>x-1 x不为2
ax^2+(-2/3-a)x+(4/3-2a)>0 x不为2 ,就是说除了2使得方程等于0，其它都不能使方程为0
于是ax^2+(-2/3-a)x+(4/3-2a)=0只有一个解。
所以deta=0
(-2/3-a)^2-4a(4/3-2a)=0
4/9+4a/3+a^2-16a/3+8a^2=0
9a^2-4a+4/9=0
81a^2-36a+4=0
(9a-2)^2=0
a=2/9
所以b=1/3-a=3/9-2/9=1/9
c=1/3-2a=3/9-4/9=-1/9
所以f(x)=2x^2/9+1/9x-1/9
方法是对的，你自已再算一次。

追问

方程除了2可以有解啊，只要比后面的式子小不就行了

追答

除了2,不能再有解,否则,x-1=0 这里只能是x=2取等号,
如果有其它数,不等式将不成立.

追问

前一个取等号后一个不取不行吗

追答

哈哈,你仔细想想:
x-1=x-1,所以实数都成立,
即表示y=x-1是y=ax^2+bx+c的一个切线

追问

导数怎么算啊

追答

y=ax^n
y'=ax^(n-1)
导数表示在该点(2,y)斜率:
f(x)=ax^2+(1/3-a)x+(1/3-2a)
f'(x)=2ax+(1/3-a)
y=x-1斜率为1
所以以1=2a*2+(1/3-a)
3a+1/3=1
a=2/9

Answer 2

根据题f(-1)=0，且x-1<=f(x)<=x^2-3x＋3，注意到：当x-1=x^2-3x+3时，x=2，意思是说当x=2时，x-1=1=f(2)=1=x^2-3x+3，所以f(2)=1。 将x=-1带进去，得a-b+c=0 ①
由不等式恒成立分别得ax^2+(b-1)x+c+1≥0恒成立，即a＞0且(b-1)^2-4ac=0②
另外一个整理得(a-1)x^2+(b+3)x+c-3小于等于0恒成立，即a-1≤0③
故a=1带进①②得b=5,c=4,故f(x)=x^2+5x+4

追问

③不是a<1吗

追答

由条件可得 a-b+c=0,且y=x-1为f(x)的切线
令x^2-3x+3=x-1 解得x=2
即1<=f(2)<=1,即 f(2)=1
有4a+2b+c=1
又有f'(x)=2ax+b
f'(2)=4a+b=1,结合上述两式 可得 a=2b b=1/9 a=2/9 c=-1/9

追问

为什么是切线呀

Answer 3

考虑到x-1与函数x^2-3x+3切于(2，1)
∴f(2)=1
f'(2)=1
再与f(-1)=0联立
解得
a=2/9
b=1/9
c=-1/9
f(x)=(2/9)x^2+(1/9)x-1/9,
懂了吗？望采纳，谢谢！

追问

两个式子解三个未知数？

追答

∴f(2)=1 导数 f'(2)=1 f(-1)=0 有三个方程。这种方法数形结合较强！