Question

一道高数证明题，求解答

Answer 1

令F(x)＝e^(－x)－f(x)，x>=0，则F(x)是连续可微函数。
且F(0)＝0，当x趋于无穷时，由于lim e^(－x)＝0，和夹逼定理知道
lim f(x)＝0，于是lim F(x)=0。下面证明F(x)有最大值。
取M＝e^(－1)－f(1)>0，由于lim F(x)＝0，
故存在X，当x>X时，必有|F(x)|<M，
即F(x)<M，当x>X时。
在【0，X】上F(x)连续必有最大值F(x0)，且最大值
F(x0)>=F(1)=M。
于是，当x位于【0，X】时，有F(x0)>=F(x)，
当x位于（X，正无穷）时，有F(x0)>=M>F(x)。
于是x0是最大值点。区间内部的最大值点必是
极大值点，因此F'(x0)＝0，即
f'(x0)+e^(－x0)=0，结论成立。