Question

f(x)=ax2+(b+1)X+(b-1),对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围

Answer 1

依题意，2个不动点即f(x)=x恒有两个不等实根
即ax^2+bx+b-1=0有两个不等实根
故有a<>0,且：
delta=b^2-4a(b-1)=b^2-4ab+4a>0
对于任意b,上式恒成立，故其判别式=(4a)^2-4*4a<0, 即0<a<1
即a的取值范围是 0<a<1

追问

为什么f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)变为f(x)=ax2+bx+b-1?

追答

f(x)=x
右边的x移项.

Answer 2

因为函数f(x)恒有两个相异的不动点
所以f(x)=x恒有两个不等实根
即 ax²+(b+1)x+(b-1)=0有两个不等实根
即 ax²+bx+b-1=0有两个不等实根
所以a≠0，且b²-4a(b-1)＞0
即 (b-2a)²-4a²+4a＞0
由于b取值为任意实数，所以要使函数f(x)恒有两个相异的不动点，则-4a²+4a＞0，
即0＜a＜1
所以a的取值范围为0＜a＜1

Answer 3

由题意得：
判别式恒大于0
则b^2-4a(b-1)>0
无论b取何值。
由此转化为一个关于a的一次函数。
因为b的定义域为r，
所以不存在a，使f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0)对任意实数b恒有两个相异的零点。

Answer 4

若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点
f(x)=ax＾2+(b+1)x+(b-1) =x
ax＾2+bx+(b-1)=0
△=b＾-4a（b-1）＞0
b＾-4ab+4a＞0
△=16a＾-16a＜0
0＜a＜1