Question

设实数xymn满足x^2+y^2=3,m^2+n^2=1，若a大于等于mx+ny恒成立，求a的范围

现有一证法如下

为什么要提出根号三
给个详解
我只想知道提出根号三的道理……

Answer 1

这个题目最好的方法是：
因为x²＋y²=3，设：x=√3cosa、y=√3sina；
因为m²＋n²=1，设：m=cosb、n=sinb，
本题只要求出mx＋ny的最大值即可。
mx＋ny
=√3cosacosb＋√3sinasinb
=√3cos(a－b)
即：mx＋ny的取值范围是：[－√3，√3]

追问

这个我知道，三角换元的确好算，不过我想问的是我给的答案的道理是什么

追答

提出√3，主要是配凑两个基本不等式同时成立的条件，即：
√3[(m)(x/√3)＋(n)/(y/√3)]，其中的：m、x/√3、n、y/√3，这四个数，利用基本不等式：
(1/2){[m²]＋[x/√3]²}≥(mx)/√3 【此时取等号的条件是：m²=x/√3】
(1/2{[n²＋[y/√3]²}≥(ny)/√3 【此时取等号的条件是：n²=y/√3】
考虑到m²＋n²=1，x²＋y²=3即[x/√3]²＋[y/√3]²=1，从而可以保证上述两个基本不等式相加后，同时取等号的条件是一样的，即相加后的等号是可以取到的。
否则：
m²＋n²＋x²＋y²
=(m²＋x²)＋(n²＋y²)
≥2mx＋2ny
注意：此处取等号的条件是：m=x且n=y【这个是不可能达成的，假如能够达成，则：m²＋n²=x²＋y²，本题中显然是不可能的】

Answer 2

此证法右边用到均值不等式，等号要求m=x/根号3，n=y/根号3.若不提出根号3.则等号要求为x=m，y=n，显然是不可能的。
为什么提出根号3，题给条件等价于x²/3+y²/3=1，m²+n²=1.
利用均值不等式，必须配凑mx=（根号3）m（x/根号3）【配凑即换元】
原命题等价于a²+b²=1，n²+m²=1，a=（根号3）x，b=（根号3）y
am+by≤（1/2）（a²+m²）+（1/2）（b²+y²）。等号成立条件为a=m，b=n。