Question

如图1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连

如图1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.
（1）说明：① △AEF≌△BEC；②DF=BC；
（2）如图2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求AH/HC的值

Answer 1

（1）① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, 
∴ ∠ABC=60°. 
在等边△ABD中，∠BAD=60°, 
∴ ∠BAD=∠ABC=60° . 
∵ E为AB的中点， 
∴ AE=BE. 
又∵ ∠AEF=∠BEC , 
∴ △AEF≌△BEC ；

参考一下吧

Answer 2

俊狼猎英团队为您解答

⑴∵ΔABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，
∵∠BAC=30°，∴∠DAC=90°，
∵∠BCA=90°，E为AB的中点，∴EA=EC，∴∠ECA=∠BAC=30°，
∵AC=AC，∠FAC=∠BCA=90°，∴ΔFAC≌ΔBCA，
∴AF=BC，又∠FAE=∠B=60°，∠FEA=∠BEC，
∴ΔAEF≌ΔBEC。
②在RTΔABC中∠BAC=30°，∴BC=1/2AB=1/2AD，又BC=AF，
∴DF=BC。
⑵设BC=1，则DA=AB=2，AC=√3，再设AH=X，则HC=HD=2-X，
在RTΔACH中，HC^2=AH^2+AC^2
(2-X)^2=X^2+3
4X^2=1
X=1/2(取正)，∴HC=2-1/2=3/2
∴AH/HC=1/3。

Answer 3

∵△ABD是等边三角形
∴∠DAB=∠FAE=60°
∵∠CAB=30°
∴∠FAC=90°
∵∠ACB=90°
∴∠FAC+∠ACB=180°
∴AF∥BC
∴∠FAE=∠EBC
∠AFE=∠ECB
∵E是AB的中点，即AE=EB
∴△AEF≌△BEC
2、Rt△ABC中
EC是斜边中线
∴AE=EC
∴∠ECA=∠CBA=30°
∴∠ECB=∠ACB-∠ECA=60°
∴∠FAE=∠EBC=60°
∠AFE=∠ECB=?
∴△AEF和△BCE是等边三角形
∴∠D=∠ECB
∠DFC=∠DBA+∠EBC=120°
∴四边形DFCB是平行四边形
∴DF=BC
3、由（1）得BC=1/2AB，
∴AC= √3/2AB，
∵△ABD是等边三角形，
∴AD=AB，
设DH=x，由折叠得：DH=CH=x，
∴在Rt△ACH中，
由勾股定理得：（AB-x)²+3/4AB²=x²，
解得：x=7 /8AB
∴sin∠ACH
=AH /CH
=(AD-DH)/CH
=(AB-7/8AB)/(7/8AB)
=(1/8)/(7/8)
=1/ 7

Answer 4

（1）证明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等边△ABD中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC，
∴△AEF≌△BEC．

②在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=12AB，BE=12AB．
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四边形BCFD是平行四边形．

（2）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，
∴∠CAH=90°．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC=a，
∴AB=2BC=2a．
∴AD=AB=2a．
设AH=x，则HC=HD=AD-AH=2a-x，
在Rt△ABC中，AC2=（2a）2-a2=3a2，
在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=（2a-x）2，
解得x=14a，即AH=14a．
∴HC=2a-x=2a-14a=74a．
∴sin∠ACH=AHHC=
14a74a=17．

Answer 5

∵△ABD是等边三角形
∴∠DAB=∠FAE=60°
∵∠CAB=30°
∴∠FAC=90°
∵∠ACB=90°
∴∠FAC+∠ACB=180°
∴AF∥BC
∴∠FAE=∠EBC
∠AFE=∠ECB
∵E是AB的中点，即AE=EB
∴△AEF≌△BEC
2、Rt△ABC中
EC是斜边中线
∴AE=EC
∴∠ECA=∠CBA=30°
∴∠ECB=∠ACB-∠ECA=60°
∴∠FAE=∠EBC=60°
∠AFE=∠ECB=?
∴△AEF和△BCE是等边三角形
∴∠D=∠ECB
∠DFC=∠DBA+∠EBC=120°
∴四边形DFCB是平行四边形
∴DF=BC
3、由（1）得BC=1/2AB，
∴AC= √3/2AB，
∵△ABD是等边三角形，
∴AD=AB，
设DH=x，由折叠得：DH=CH=x，
∴在Rt△ACH中，
由勾股定理得：（AB-x)²+3/4AB²=x²，
解得：x=7 /8AB
∴sin∠ACH
=AH /CH
=(AD-DH)/CH
=(AB-7/8AB)/(7/8AB)
=(1/8)/(7/8)
=1/ 7